Basi di uno spazio vettoriale

[Pozzetto1]

Eccomi con i miei numerosi problemi.
Scusatemi ma sto preparando un esame e sarete miei compagni fedeli per qualche periodo.

Se ho una funzione lineare $T:RR^3 rarr RR^3$ con matrice $A$ associata

$A=((2,1,0),(0,-1,1),(2,-1,2))$ rispetto alle basi canoniche,devo trovare una base per l'immagine e per il nucleo.

Ora,se non erro una base per l'immagine sono le colonne linearmente indipendenti di $A$.

Essendo che ho $2^3$ combinazioni possibili su 3 colonne provando mi viene fuori che $(2,0,2),(0,1,2)$ sono linearmente indipendenti ma lo sono anche $(1,-1,-1),(0,1,2)$.

Erro?

[giaorl]

Non erri. Il ragionamento è giusto: ciò riguardo cui sei certo è che l'immagine dell'applicazione lineare è generata dalle immagini dei vettori di una base dello spazio di partenza, quindi tu scegli solo quelle che sono linearmente indipendenti. Non ti deve spaventare l'aver trovato due basi distinte, perché uno spazio non ha una sola base. Puoi convincerti facendo i conti che gli spazi generati da questi vettori sono effettivamente la stessa cosa:
[tex]\\ 2((1,-1,-1) + (0,1,2)) = (2,0,2) \Rightarrow (2,0,2) \in span((1,-1,-1), (0,1,2))\\
(0,1,2) \in span((1,-1,-1), (0,1,2))[/tex]
Poiché hanno la stessa dimensione, i due spazi coincidono.

E per il nucleo?

PS: span è lo spazio generato, non so come lo denoti.

[Pozzetto1]

Ma quindi quale potrebbe non essere una base considerando la matrice A?

[giaorl]

Forse ho capito cosa ti confonde, il fatto che comunque prendi due colonne, queste siano una base dell'immagine. Voglio dire che [tex]\{(2,0,2),(1,-1,-1)\}, \{(1,-1,-1),(0,1,2)\},\{(2,0,2),(0,1,2)\}[/tex] sono tutte basi dell'immagine, in quanto coppie di vettori linearmente indipendenti (la matrice ha rango 2, quindi la dimensione dell'immagine è 2). Un esempio di non base è [tex]\{(2,0,2), (1,-1,-1)+(0,1,2)\}[/tex], che genera uno spazio 1-dimensionale.