Basi di spazi vettoriali
Buon pomeriggio, qualcuno può darmi una mano con questo esercizio sulle basi?
Per quanti valori di $a$ i vettori ${(0,0,3-a^2,a^2-3);(a^2+a,a+1,1,-a^2)}$ formano una base di $W:={(x,y,z,w)inR^4$ $/z+w=x-ay=0}$ ?
Grazie
Per quanti valori di $a$ i vettori ${(0,0,3-a^2,a^2-3);(a^2+a,a+1,1,-a^2)}$ formano una base di $W:={(x,y,z,w)inR^4$ $/z+w=x-ay=0}$ ?
Grazie
Risposte
"asso95":
Per quanti valori di $a$ i vettori ${(0,0,3-a^2,a^2-3);(a^2+a,a+1,1,-a^2)}$ formano una base di $W:={(x,y,z,w)inR^4 |z+w=x-ay=0}$ ?
Ciao,
non so se è giusto ma io ragionerei così.
dalla definizione di $W$ mi trovo una generica base ${(ay, y, -w, w)| y, w in RR}$, quindi la possibile base dovrebbe essere $B={(a,1,0,0),(0,0,-1,1)}$.
Confrontando le due basi che abbiamo dovremmo ricavare delle condizioni e quindi i valori di a.
Buonasera,
ti ringrazio per la risposta. Confrontanto le due basi che abbiamo (cioè eguagliando tutte le componenti dei generatori) purtroppo non mi torna, in quanto la soluzione dell'esercizio è "per un solo valore del parametro $a$", mentre così facendo tornerebbe "per nessun valore di $a$", poiché 1$!=$-1 e 1$!=$0 , $AA a in R$. Quindi le due basi non potrebbero mai essere uguali. Mi sto forse sbagliando?
ti ringrazio per la risposta. Confrontanto le due basi che abbiamo (cioè eguagliando tutte le componenti dei generatori) purtroppo non mi torna, in quanto la soluzione dell'esercizio è "per un solo valore del parametro $a$", mentre così facendo tornerebbe "per nessun valore di $a$", poiché 1$!=$-1 e 1$!=$0 , $AA a in R$. Quindi le due basi non potrebbero mai essere uguali. Mi sto forse sbagliando?
Confrontando il secondo vettore della base B che ho scritto con il primo dato dal problema (dato che entrambi hanno la coppia 0,0 come primi termini) ottengo il sistema
${(0=0),(0=0),(3-a^2=-1),(a^2-3=1):}$
che ha come soluzione $a=+-2$.
Sinceramente non so che altro fare.
${(0=0),(0=0),(3-a^2=-1),(a^2-3=1):}$
che ha come soluzione $a=+-2$.
Sinceramente non so che altro fare.
Io propongo un metodo alternativo.
Tu hai che \(\displaystyle W(a) = \mathbf{v}^{\perp} \cap \bigl[\mathbf{u}(a)\bigr]^{\perp} \) dove \(\displaystyle \mathbf{v} = (0,0,1,1) \) e \(\displaystyle \mathbf{u}(a) = (1,-a,0,0) \). Dove gli spazi ortogonali sono calcolati rispetto al prodotto scalare standard.
Pertanto se \(\displaystyle \mathbf{b}_1(a) = (0,0, 3-a^2, a^2-3) \) e \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a) = (a^2+a,a+1,1,-a^2) \) formano una base di \(\displaystyle W \) allora \(\displaystyle \{ \mathbf{u} , \mathbf{v} , \mathbf{b}_1 , \mathbf{b}_2 \} \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \). Insomma se calcoli il determinante trovi la prima condizione. La seconda condizione è che siano effettivamente in \(\displaystyle W(a) \).
\(\displaystyle \mathbf{b}_1(a) = (0,0, 3-a^2, a^2-3) \) è banalmente sempre in \(\displaystyle W(a) \). Al contrario la cose non vanno così bene per \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a) \). Sicuro che \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a) \) non sia \(\displaystyle (a^2+a, a+1, a^2, -a^2) \) ? Perché con questo \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a) \) si ha che \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a)\in W(a) \) solo per \(\displaystyle a \in \{-1, 1\} \) (ovviamente poi bisogna calcolare il determinante della matrice \(\displaystyle 4\times 4 \) per trovare i valori finali).
In caso sia invece proprio quella potrebbe convenirti calcolare i determinante direttamente con \(\displaystyle a = 1 \) e \(\displaystyle a=-1 \) (sono solo due valori ed eviti di doverti portare dietro polinomi di grado elevato).
Tu hai che \(\displaystyle W(a) = \mathbf{v}^{\perp} \cap \bigl[\mathbf{u}(a)\bigr]^{\perp} \) dove \(\displaystyle \mathbf{v} = (0,0,1,1) \) e \(\displaystyle \mathbf{u}(a) = (1,-a,0,0) \). Dove gli spazi ortogonali sono calcolati rispetto al prodotto scalare standard.
Pertanto se \(\displaystyle \mathbf{b}_1(a) = (0,0, 3-a^2, a^2-3) \) e \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a) = (a^2+a,a+1,1,-a^2) \) formano una base di \(\displaystyle W \) allora \(\displaystyle \{ \mathbf{u} , \mathbf{v} , \mathbf{b}_1 , \mathbf{b}_2 \} \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \). Insomma se calcoli il determinante trovi la prima condizione. La seconda condizione è che siano effettivamente in \(\displaystyle W(a) \).
\(\displaystyle \mathbf{b}_1(a) = (0,0, 3-a^2, a^2-3) \) è banalmente sempre in \(\displaystyle W(a) \). Al contrario la cose non vanno così bene per \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a) \). Sicuro che \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a) \) non sia \(\displaystyle (a^2+a, a+1, a^2, -a^2) \) ? Perché con questo \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a) \) si ha che \(\displaystyle \mathbf{b}_2(a)\in W(a) \) solo per \(\displaystyle a \in \{-1, 1\} \) (ovviamente poi bisogna calcolare il determinante della matrice \(\displaystyle 4\times 4 \) per trovare i valori finali).
In caso sia invece proprio quella potrebbe convenirti calcolare i determinante direttamente con \(\displaystyle a = 1 \) e \(\displaystyle a=-1 \) (sono solo due valori ed eviti di doverti portare dietro polinomi di grado elevato).
"Samy21":
[quote="asso95"]Per quanti valori di $a$ i vettori ${(0,0,3-a^2,a^2-3);(a^2+a,a+1,1,-a^2)}$ formano una base di $W:={(x,y,z,w)inR^4 |z+w=x-ay=0}$ ?
Ciao,
non so se è giusto ma io ragionerei così.
dalla definizione di $W$ mi trovo una generica base ${(ay, y, -w, w)| y, w in RR}$, quindi la possibile base dovrebbe essere $B={(a,1,0,0),(0,0,-1,1)}$.
Confrontando le due basi che abbiamo dovremmo ricavare delle condizioni e quindi i valori di a.[/quote]
Attenzione, l'unica condizione che ti fornisce un'altra base è che
\begin{cases} \mathbf{b}_1 &= \alpha_1 \widetilde{\mathbf{b}}_1 + \alpha_2\widetilde{\mathbf{b}}_2 \\ \mathbf{b}_1 &= \beta_1 \widetilde{\mathbf{b}}_2 + \beta_2\widetilde{\mathbf{b}}_2 \end{cases} tale che \(\displaystyle \alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1 \neq 0 \).
"vict85":
Attenzione, l'unica condizione che ti fornisce un'altra base è che
\begin{cases} \mathbf{b}_1 &= \alpha_1 \widetilde{\mathbf{b}}_1 + \alpha_2\widetilde{\mathbf{b}}_2 \\ \mathbf{b}_1 &= \beta_1 \widetilde{\mathbf{b}}_2 + \beta_2\widetilde{\mathbf{b}}_2 \end{cases} tale che \(\displaystyle \alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1 \neq 0 \).
Grazie!
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