Basi di sottospazi vettoriali
Salve, sono nuovo del forum e volevo chiedervi se sto procedendo bene su questo esercizio:
-è possibile completare $t-5 , t^2+1$ ad una base di $R_2 [t]$ ?
Sto procedendo a questa maniera:
Ho scritto $t-5 , t^2+1$ come $(t-5 , t^2+1)$ quindi $(t , t^2)+(-5,+1)=(1,t)*t+(-5,1)$
però mi sono subito bloccato perché non so se sto procedendo nel modo giuso...
-è possibile completare $t-5 , t^2+1$ ad una base di $R_2 [t]$ ?
Sto procedendo a questa maniera:
Ho scritto $t-5 , t^2+1$ come $(t-5 , t^2+1)$ quindi $(t , t^2)+(-5,+1)=(1,t)*t+(-5,1)$
però mi sono subito bloccato perché non so se sto procedendo nel modo giuso...
Risposte
Ciao,
non ho la più pallida idea di cosa tu stia facendo. Prima di tutto devi verificare la lineare indipendenza dei vettori dati, se i vettori sono dipendenti allora non è possibile completare a base(le ipotesi del teorema non sono verificate) altrimenti, se il numero è minore della dimensione dello spazio, è possibile.
non ho la più pallida idea di cosa tu stia facendo. Prima di tutto devi verificare la lineare indipendenza dei vettori dati, se i vettori sono dipendenti allora non è possibile completare a base(le ipotesi del teorema non sono verificate) altrimenti, se il numero è minore della dimensione dello spazio, è possibile.
"Shocker":
Ciao,
non ho la più pallida idea di cosa tu stia facendo. Prima di tutto devi verificare la lineare indipendenza dei vettori dati, se i vettori sono dipendenti allora non è possibile completare a base(le ipotesi del teorema non sono verificate) altrimenti, se il numero è minore della dimensione dello spazio, è possibile.
Per verificare la dipendenza o indipendenza lineare, andavo a studiare il determinante e quindi il rango.
In base a questo dicevo che i vettori sono o non sono dipendenti tra loro.
Ma in questo caso come procedo?
Avrei una matrice 2x1, se non sbaglio, e quindi il rango è sicuramente 1.
Se il rango è 1 posso affermare che i vettori non sono linearmente dipendenti giusto?
Per verificare la dipendenza o indipendenza lineare, andavo a studiare il determinante e quindi il rango.
In base a questo dicevo che i vettori sono o non sono dipendenti tra loro.
Ma in questo caso come procedo?
Avrei una matrice 2x1, se non sbaglio, e quindi il rango è sicuramente 1.
Se il rango è 1 posso affermare che i vettori non sono linearmente dipendenti giusto?
Fissi una base di $\mathbb{R}_2[x]$, per esempio quella più semplice: $B = {1, x, x^2}$, a questo punto le coordinate dei vettori $t^2 + 1$ e $t-5$ rispetto a $B$ sono $(1, 0, 1)$ e $(0, 1, -5)$, se questi due vettori sono linearmente indipendenti allora lo sono anche $t^2 + 1$ e $t-5$*. Si ha quindi la matrice $( (1, 0, 1), (0, 1 , -5))$ che ha rango $2$, quindi i vettori sono linearmente indipendenti.
*questo è dovuto al fatto che fissata una base $B$ di uno spazio vettoriale $V$ su campo $\mathbb{K}$ di dimensione $n$ allora automaticamente hai un isomorfismo $f: V \to \mathbb{K^n}$ che manda ogni vettore di $v$ nelle sue coordinate rispetto a $B$ e, visto che gli isomorfismi fra spazi vettoriali conservano l'indipendenza lineare, hai come conseguenza che dei vettori in $V$ sono linearmente indipendenti se e solo se i vettori delle loro coordinate rispetto a $B$ sono linearmente indipendenti.
"Shocker":
Fissi una base di $\mathbb{R}_2[x]$, per esempio quella più semplice: $B = {1, x, x^2}$, a questo punto le coordinate dei vettori $t^2 + 1$ e $t-5$ rispetto a $B$ sono $(1, 0, 1)$ e $(0, 1, -5)$, se questi due vettori sono linearmente indipendenti allora lo sono anche $t^2 + 1$ e $t-5$*. Si ha quindi la matrice $( (1, 0, 1), (0, 1 , -5))$ che ha rango $2$, quindi i vettori sono linearmente indipendenti.
*questo è dovuto al fatto che fissata una base $B$ di uno spazio vettoriale $V$ su campo $\mathbb{K}$ di dimensione $n$ allora automaticamente hai un isomorfismo $f: V \to \mathbb{K^n}$ che manda ogni vettore di $v$ nelle sue coordinate rispetto a $B$ e, visto che gli isomorfismi fra spazi vettoriali conservano l'indipendenza lineare, hai come conseguenza che dei vettori in $V$ sono linearmente indipendenti se e solo se i vettori delle loro coordinate rispetto a $B$ sono linearmente indipendenti.
Perfetto
Grazie mille... solo un'ultima cosa.
In alcuni libri, quando tira fuori i due vettori rispetto a $B$ nel nostro caso: $v_1 = (1,0,1) v_2 = (0,1,-5)$ , quando li mette sottoforma di matrice associata, li dispone sulle colonne:$( (1, 0), (0, 1), (1, -5))$ . Cambia qualcosa?
In questo caso il rango è anche 2 e quindi sono linearmente indipendenti.
No, il rango di una matrice è sempre uguale a quello della sua trasposta. Certamente se il tuo prof preferisce mettere i vettori in colonna rispetto che in riga allora sarà meglio seguire le sue convenzioni.
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