Basi di Jordan
ciao, ho una domanda:
una volta trasformata una matrice nella sua forma di Jordan, praticamente cos' è una BASE di Jordan?
grazie a tutti, ciao!
una volta trasformata una matrice nella sua forma di Jordan, praticamente cos' è una BASE di Jordan?
grazie a tutti, ciao!
Risposte
una base di jordan è una base rispetto alla quale la matrice si scrive in forma di jordan!!!!!!!!!!!
Quindi fammi capire bene, devo trovare un insieme di vettori dello spazio di partenza tali che la matrice ottenuta sia in forma di jordan??
Quindi praticamente come posso procedere??
Mica devo mettere a sistema tutte le condizioni??
Quindi praticamente come posso procedere??
Mica devo mettere a sistema tutte le condizioni??

Allora... ho provato a leggere qua e la e provo a fare un esempio concreto
Se non ho capito male, devo prendere una base di $RR^4$ data dalle basi del ker delle matrici $(A-\lambdaI)$ per ogni autovalore $\lambda$
Io ho la mia matrice:
$A=((0,0,-1,2),(0,2,0,0),(2,0,-1,2),(1,0,-1,2))$ i cui autovalori sono (li scrivo nella forma: autovalore (molteplicità algebrica) [molteplicità geometrica])
0 (2) [1]
2 (1) [1]
1 (1) [1]
Quindi la sua matrice nella forma di Jordan sarà
$J=((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,1))$
Adesso veniamo al calcolo della base di Jordan. Essendo le molteplicità geometriche tutte [1] so che ogni $(A-\lambdaI)$ avrà dim(ker) = 1, perciò mi darà un solo vettore...
Per $(A-1*I)$ mi trovo il vettore di base $((-1),(0),(1),(0))$
Per $(A-2*I)$ mi trovo il vettore di base $((0),(1),(0),(0))$
Per $(A-0*I) = ker(f)$ mi trovo il vettore di base $((0),(0),(2),(1))$
Adesso cominciano i dubbi... come faccio a completare la base?? aggiungo un vettore casuale di $RR^4$ indipendente dagli altri (tipo $e_4$?)
Quindi la base sembra essere
$B_J = {((-1),(0),(1),(0)), ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(2),(1)), ((0),(0),(0),(1))}$ è corretto??
Grazie a tutti in anticipo
Se non ho capito male, devo prendere una base di $RR^4$ data dalle basi del ker delle matrici $(A-\lambdaI)$ per ogni autovalore $\lambda$
Io ho la mia matrice:
$A=((0,0,-1,2),(0,2,0,0),(2,0,-1,2),(1,0,-1,2))$ i cui autovalori sono (li scrivo nella forma: autovalore (molteplicità algebrica) [molteplicità geometrica])
0 (2) [1]
2 (1) [1]
1 (1) [1]
Quindi la sua matrice nella forma di Jordan sarà
$J=((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,1))$
Adesso veniamo al calcolo della base di Jordan. Essendo le molteplicità geometriche tutte [1] so che ogni $(A-\lambdaI)$ avrà dim(ker) = 1, perciò mi darà un solo vettore...
Per $(A-1*I)$ mi trovo il vettore di base $((-1),(0),(1),(0))$
Per $(A-2*I)$ mi trovo il vettore di base $((0),(1),(0),(0))$
Per $(A-0*I) = ker(f)$ mi trovo il vettore di base $((0),(0),(2),(1))$
Adesso cominciano i dubbi... come faccio a completare la base?? aggiungo un vettore casuale di $RR^4$ indipendente dagli altri (tipo $e_4$?)
Quindi la base sembra essere
$B_J = {((-1),(0),(1),(0)), ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(2),(1)), ((0),(0),(0),(1))}$ è corretto??
Grazie a tutti in anticipo

$e_4$ lo devi scegliere in modo tale che appartenga $ker((A-0I)^2)\\ker(A-0I)$ da cui $e_3=(A-0I)e_4$
mmm ma perchè proprio appartenente a $ker (A-0I)^2 \ ker (A - 0I)$?
Perchè non $ker (A-0I)^3 \ ker (A - 0I)$?
C'entra la moteplicità algebrica??
Perchè non $ker (A-0I)^3 \ ker (A - 0I)$?
C'entra la moteplicità algebrica??
Il fatto che l'autovalore abbia molteplicità algebrica 2 e geometrica 1, porta ad avere avere un blocco di Jordan di dimensione 2 che sarà $((0,1),(0,0))$, dato che questo è solo un pezzo della matrice di Jordan, questa parte della matrice sarà $((0,1),(0,0),(0,0),(0,0))$ e le colonne sono i coefficienti espressi rispetto ai relativi vettori della base di Jorda che ci rappresentano i trasformati dell'endomorfismo, supponendo di mettere questo blocco nelle prime due posizioni a sinistra della matrice, chiamando $e_1'$ ed $e_2'$ i vettori della base associati al blocco, abbiamo
$f(e_1') = 0$ quindi $e_1' \in Ker(f)$
$f(e_2') = e_1'$ quindi se riapplico l'endomorfimo ottengo $f^2(e_2') = f(e_1') = 0$ quindi $e_2' \in Ker(f^2)\\Ker(f)$
In generale se un autovalore ha molteplicità algebrica $m$ e geometrica $h$, allora esiste il blocco di Jordan relativo, è costituito da $h$ sottoblocchi tutti relativi all'autovalore e la somma delle dimensioni dei sottoblocchi deve essere pari a $m$, quindi in generale puoi avere più configurazioni, dovrai poi verificare partendo dalle analoghe relazioni sui vettori della nuova base e relativi trasformati che tutto sia coerente, quindi verificare che le dimensioni dei $Ker$ delle ripetute applicazioni siano effettivamente coerenti con la configurazione supposta.
$f(e_1') = 0$ quindi $e_1' \in Ker(f)$
$f(e_2') = e_1'$ quindi se riapplico l'endomorfimo ottengo $f^2(e_2') = f(e_1') = 0$ quindi $e_2' \in Ker(f^2)\\Ker(f)$
In generale se un autovalore ha molteplicità algebrica $m$ e geometrica $h$, allora esiste il blocco di Jordan relativo, è costituito da $h$ sottoblocchi tutti relativi all'autovalore e la somma delle dimensioni dei sottoblocchi deve essere pari a $m$, quindi in generale puoi avere più configurazioni, dovrai poi verificare partendo dalle analoghe relazioni sui vettori della nuova base e relativi trasformati che tutto sia coerente, quindi verificare che le dimensioni dei $Ker$ delle ripetute applicazioni siano effettivamente coerenti con la configurazione supposta.
Perfetto comincio a capire 
Permettimi un piccolo dubbio... il ragionamento $f(e_2')=e_1'$ si può fare perchè $f(e_2') = ((1,),(0),(0),(0))$ ovvero il primo vettore della base canonica?? o si può fare sempre??
Non capisco questo di passaggio... grazie in anticipo

Permettimi un piccolo dubbio... il ragionamento $f(e_2')=e_1'$ si può fare perchè $f(e_2') = ((1,),(0),(0),(0))$ ovvero il primo vettore della base canonica?? o si può fare sempre??
Non capisco questo di passaggio... grazie in anticipo

no no... attento, è solo coincidenza, quel vettore colonna sono le componenti da dare alla base di jordan per ottenere il trasformato per mezzo dell'applicazione $f$ sul vettore $e_2'$ della base stessa
mmm quindi ricapitolando per vedere se ho capito (grazie intanto della pazienza
)
Finchè ho molteplicità geometrica $\lambda$ uguale a 1 è tranquilla la cosa, perchè è semplicemente in ker di $A-\lambdaI$
Supponiamo la molteplicità sia diversa e quindi abbia il blocco ad esempio 3 x 3
prendo il primo vettore $v_1$ e so che (chiamandolo $u_1$)
$f(u_1) = v_1$ e trovo il primo vettore
Adesso qui ci sono i miei problemini concettuali (scusami davvero... se puoi segui questo caso generale, perchè con gli esempi rischio di non capire per le coincidenze
)
Ho capito bene che $f(u_2) = u_1$??

Finchè ho molteplicità geometrica $\lambda$ uguale a 1 è tranquilla la cosa, perchè è semplicemente in ker di $A-\lambdaI$
Supponiamo la molteplicità sia diversa e quindi abbia il blocco ad esempio 3 x 3
prendo il primo vettore $v_1$ e so che (chiamandolo $u_1$)
$f(u_1) = v_1$ e trovo il primo vettore
Adesso qui ci sono i miei problemini concettuali (scusami davvero... se puoi segui questo caso generale, perchè con gli esempi rischio di non capire per le coincidenze

Ho capito bene che $f(u_2) = u_1$??
No.... allora vediamo di vedere un caso abbastanza generale.
Analizziamo un autovalore $\lamda$ che ha molteplicità algebrica $m$ e molteplicità algebrica $h$, allora il blocco di Jordan associato è sarà composto da $h$ sottoblocchi che avranno struttura $((\lambda,1,0, ..., 0),(0, \lambda,1, ..., 0),(0,0,\lambda,...,0),(0,0,...,...,1),(0,0,0,...,\lambda))$, questi blocchi hanno dimensione tale che la somma delle loro dimensioni sia pari a $m$.
Ora, bisogna considerare tutte le combinazioni (quindi l'ordine non ci interessa) di $h$ numeri interi, tali per cui la loro somma sia $m$, e quindi considerare il blocco di Jordan costituito dai sottoblocchi di dimensioni assegnate.
Supponiamo che questo blocco sia di dimensione 5, quindi anche la molteplicità algebrica dell'autovalore $\lambda$ associato è $5$ e supponiamo moltemplicità geometrica $3$.
Abbiamo quindi che $n_1 + n_2 +n_3 = 5$, quindi le possibili combinazioni sono $1,2,2$, o $1,1,3$
Il blocco nel primo caso sarà $J=((\lambda,0,0,0,0),(0,\lambda,1,0,0),(0,0,\lambda,0,0),(0,0,0,\lambda,1),(0,0,0,0,\lambda))$ mentre nel secondo caso sarà $J=((\lambda,0,0,0,0),(0,\lambda,0,0,0),(0,0,\lambda,1,0),(0,0,0,\lambda,1),(0,0,0,0,\lambda))$
Da questi ricaviamo relazioni diverse relativamente ai vettori della base di Jordan, infatti, nel primo caso
$f(e_1) = \lambda e_1$ da cui $(f - \lambda)(e_1) = 0$ quindi $e_1 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_2) = \lambda e_2$ da cui $(f - \lambda)(e_2) = 0$ quindi $e_2 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_3) = e_2 + \lambda e_3$ da cui $(f - \lambda)(e_3) = e_2$ da cui $(f-\lambda)^2(e_3) = 0$ quindi $e_3 \in Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$
$f(e_4) = \lambda e_4$ da cui $(f - \lambda)(e_4) = 0$ quindi $e_4 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_5) = e_4 + \lambda e_5$ da cui $(f - \lambda)(e_5) = e_4$ da cui $(f-\lambda)^2(e_5) = 0$ quindi $e_5 \in Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$
quindi vediamo che $Ker (f-\lambda)$ contiene i vettori $e_1$, $e_2$, $e_4$, mentre $Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$ contiene $e_3$, $e_5$ che tramite l'applicazione $(f-\lambda)$ si mappano rispettivamente in $e_2$ e $e_4$.
Nel secondo caso invece
$f(e_1) = \lambda e_1$ da cui $(f - \lambda)(e_1) = 0$ quindi $e_1 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_2) = \lambda e_2$ da cui $(f - \lambda)(e_2) = 0$ quindi $e_2 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_3) = \lambda e_3$ da cui $(f - \lambda)(e_3) = 0$ da cui $e_3 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_4) = e_3 +\lambda e_4$ da cui $(f - \lambda)(e_4) = e_3$ da cui $(f-\lambda)^2(e_4) = 0$ quindi $e_4 \in Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$
$f(e_5) = e_4 + \lambda e_5$ da cui $(f - \lambda)(e_5) = e_4$ da cui $(f-\lambda)^3(e_5) = 0$ quindi $e_5 \in Ker (f-\lambda)^3 \\ Ker (f-\lambda)^2$
quindi vediamo che $Ker (f-\lambda)$ contiene $e_1$, $e_2$, ed $e_3$, in $Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$ vi è $e_4$, infine in $Ker (f-\lambda)^3 \\ Ker (f-\lambda)^2$ c'è $e_5$ che tramite l'applicazione $(f-\lambda)$ si mappa in $e_4$ che a sua volta l'applicazione $(f-\lambda)$ si mappa in $e_3$.
A questo punto per scegliere quale delle due ipotesi è valida devi verificare le dimensioni dei $Ker$ e nel primo caso verificare che $Ker(f-\lambda)$ abbia dimensione 3, e che $Ker (f-\lambda)^2$, abbia dimensione 5; nel secondo caso invece $Ker(f-\lambda)$ abbia dimensione 3, e che $Ker (f-\lambda)^2$, abbia dimensione 4 ed infine $Ker (f-\lambda)^3$ abbia dimensione 5.
Fatto per trovare i vettori di base, ti basta seguire quanto detto dalle relazioni, parti dai vettori negli spazi più grandi e tramite le applicazioni trovi quelli più interni, man mano che raggiungi un sottospazio che contiene altri vettori sui quali non viene mappato nulla dall'esterno, completi con vettori di quel sottospazio linearmente indipendenti da quelli trovati. Mettendo nell'ordine dato i vettori che trovi quella è la tua base per quanto riguarda l'autovalore, fai così con gli altri autovalori e scrivendo correttamente i vettori completando opportunamente con zeri hai la base di Jordan.
Analizziamo un autovalore $\lamda$ che ha molteplicità algebrica $m$ e molteplicità algebrica $h$, allora il blocco di Jordan associato è sarà composto da $h$ sottoblocchi che avranno struttura $((\lambda,1,0, ..., 0),(0, \lambda,1, ..., 0),(0,0,\lambda,...,0),(0,0,...,...,1),(0,0,0,...,\lambda))$, questi blocchi hanno dimensione tale che la somma delle loro dimensioni sia pari a $m$.
Ora, bisogna considerare tutte le combinazioni (quindi l'ordine non ci interessa) di $h$ numeri interi, tali per cui la loro somma sia $m$, e quindi considerare il blocco di Jordan costituito dai sottoblocchi di dimensioni assegnate.
Supponiamo che questo blocco sia di dimensione 5, quindi anche la molteplicità algebrica dell'autovalore $\lambda$ associato è $5$ e supponiamo moltemplicità geometrica $3$.
Abbiamo quindi che $n_1 + n_2 +n_3 = 5$, quindi le possibili combinazioni sono $1,2,2$, o $1,1,3$
Il blocco nel primo caso sarà $J=((\lambda,0,0,0,0),(0,\lambda,1,0,0),(0,0,\lambda,0,0),(0,0,0,\lambda,1),(0,0,0,0,\lambda))$ mentre nel secondo caso sarà $J=((\lambda,0,0,0,0),(0,\lambda,0,0,0),(0,0,\lambda,1,0),(0,0,0,\lambda,1),(0,0,0,0,\lambda))$
Da questi ricaviamo relazioni diverse relativamente ai vettori della base di Jordan, infatti, nel primo caso
$f(e_1) = \lambda e_1$ da cui $(f - \lambda)(e_1) = 0$ quindi $e_1 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_2) = \lambda e_2$ da cui $(f - \lambda)(e_2) = 0$ quindi $e_2 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_3) = e_2 + \lambda e_3$ da cui $(f - \lambda)(e_3) = e_2$ da cui $(f-\lambda)^2(e_3) = 0$ quindi $e_3 \in Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$
$f(e_4) = \lambda e_4$ da cui $(f - \lambda)(e_4) = 0$ quindi $e_4 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_5) = e_4 + \lambda e_5$ da cui $(f - \lambda)(e_5) = e_4$ da cui $(f-\lambda)^2(e_5) = 0$ quindi $e_5 \in Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$
quindi vediamo che $Ker (f-\lambda)$ contiene i vettori $e_1$, $e_2$, $e_4$, mentre $Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$ contiene $e_3$, $e_5$ che tramite l'applicazione $(f-\lambda)$ si mappano rispettivamente in $e_2$ e $e_4$.
Nel secondo caso invece
$f(e_1) = \lambda e_1$ da cui $(f - \lambda)(e_1) = 0$ quindi $e_1 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_2) = \lambda e_2$ da cui $(f - \lambda)(e_2) = 0$ quindi $e_2 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_3) = \lambda e_3$ da cui $(f - \lambda)(e_3) = 0$ da cui $e_3 \in Ker (f-\lambda)$
$f(e_4) = e_3 +\lambda e_4$ da cui $(f - \lambda)(e_4) = e_3$ da cui $(f-\lambda)^2(e_4) = 0$ quindi $e_4 \in Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$
$f(e_5) = e_4 + \lambda e_5$ da cui $(f - \lambda)(e_5) = e_4$ da cui $(f-\lambda)^3(e_5) = 0$ quindi $e_5 \in Ker (f-\lambda)^3 \\ Ker (f-\lambda)^2$
quindi vediamo che $Ker (f-\lambda)$ contiene $e_1$, $e_2$, ed $e_3$, in $Ker (f-\lambda)^2 \\ Ker (f-\lambda)$ vi è $e_4$, infine in $Ker (f-\lambda)^3 \\ Ker (f-\lambda)^2$ c'è $e_5$ che tramite l'applicazione $(f-\lambda)$ si mappa in $e_4$ che a sua volta l'applicazione $(f-\lambda)$ si mappa in $e_3$.
A questo punto per scegliere quale delle due ipotesi è valida devi verificare le dimensioni dei $Ker$ e nel primo caso verificare che $Ker(f-\lambda)$ abbia dimensione 3, e che $Ker (f-\lambda)^2$, abbia dimensione 5; nel secondo caso invece $Ker(f-\lambda)$ abbia dimensione 3, e che $Ker (f-\lambda)^2$, abbia dimensione 4 ed infine $Ker (f-\lambda)^3$ abbia dimensione 5.
Fatto per trovare i vettori di base, ti basta seguire quanto detto dalle relazioni, parti dai vettori negli spazi più grandi e tramite le applicazioni trovi quelli più interni, man mano che raggiungi un sottospazio che contiene altri vettori sui quali non viene mappato nulla dall'esterno, completi con vettori di quel sottospazio linearmente indipendenti da quelli trovati. Mettendo nell'ordine dato i vettori che trovi quella è la tua base per quanto riguarda l'autovalore, fai così con gli altri autovalori e scrivendo correttamente i vettori completando opportunamente con zeri hai la base di Jordan.
più chiaro di così si muore!!!!gentilissimo
esistono mica i feedback su matematicamente??
ti do subito il massimo 
Cmq adesso vediamo se ho capito... tornando all'esempio precedente
Questa era la sua forma di Jordan:
$J=((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,1))$
Lavoriamo su questa benedetta base e più precisamente sul primo blocchetto di autovalore 0
ho che $f(u_1) = ((0),(0),(0),(0))$ e quindi $u_1$ lo trovo cercando una base di $A$
Trovato questo vettore $u_1$ so che (per trovare il secondo vettore di base $u_2$):
$f(u_2) = u_1 + 0 * u_2 = u_1$ esatto??
Se ho capito bene ti faccio i miei complimenti per avermi fatto capire la base di Jordan



Cmq adesso vediamo se ho capito... tornando all'esempio precedente
Questa era la sua forma di Jordan:
$J=((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,1))$
Lavoriamo su questa benedetta base e più precisamente sul primo blocchetto di autovalore 0

ho che $f(u_1) = ((0),(0),(0),(0))$ e quindi $u_1$ lo trovo cercando una base di $A$
Trovato questo vettore $u_1$ so che (per trovare il secondo vettore di base $u_2$):
$f(u_2) = u_1 + 0 * u_2 = u_1$ esatto??
Se ho capito bene ti faccio i miei complimenti per avermi fatto capire la base di Jordan

Quasi, precisiamo $u_1$ è da ricercare in $Ker(A-0 I)$, però non posso prendere un vettore di $Ker (A-0 I)$ a caso, devo prendere quel vettore risultato che è la mappatura di $(f -0I)(u_2)$ dove $u_2$ da $f(u_2) = u_1$ da cui deduci che $u_2$ si trova in $Ker((f-0 I)^2)$ ma non si trova in $Ker(f-0 I)$. Quindi devi scegliere $u_2$ da questo sottospazio quindi in $Ker((f-0 I)^2)\\Ker(f-0 I)$ gli applichi $f -0$, quindi in pratica calcoli $(A-0 I)(u_2)$ e così trovi un vettore che deve appartenere a $Ker(A-0 I)$ e questo è $u_1$.
In pratica hai dei legami tra i vettori della base, oltre ad essere lineamente indipendenti (e questo è per definizione di base), tra alcuni di essi ci sono delle restrizioni in più che sono date appunto da queste trasformazioni. Questi legami presenti nella base poi si riflettono nella matrice di rappresentazione dell'endomorfismo in forma di Jordan, questi legami sono gli $uni$ sulla sovradiagonale della matrice che legano tra di loro le "equazioni" viste per righe.
Questa cosa la si vede in maniera lampante in teoria dei sistemi, la forma di Jordan mostra le serie tra sistemi dinamici.
Questa cosa la si vede in maniera lampante in teoria dei sistemi, la forma di Jordan mostra le serie tra sistemi dinamici.
aaa quindi il contrario!! da $u_2$ devo tirarmi fuori $u_1$... pensavo andasse calcolato prima quest'ultimo!
quindi (per capirci alla terra terra
) si parte "sempre da destra" elevando la matrice $(A - \lambdaI)$ alla dimensione $m$ del blocco. Da questa matrice trovo dei vettori di base, ma devo prendere solo quelli che $in ker(A - \lambdaI)^m$ ma $notin {(A - \lambdaI)^(m-1) uu (A - \lambdaI)^(m-2) uu ... uu (A - \lambdaI)}$ esatto??
Trovato questo faccio lo stesso procedimento con gli altri scalando sempre la m di uno... fino ad arrivare al $ker(A - \lambdaI)$.
Ho capito bene??
Grazie davvero dell'aiuto che mi stai dando
gentilissimo


Trovato questo faccio lo stesso procedimento con gli altri scalando sempre la m di uno... fino ad arrivare al $ker(A - \lambdaI)$.
Ho capito bene??
Grazie davvero dell'aiuto che mi stai dando

Si, poi dipende dalla configurazione che hai, se ad esempio in un blocco di dimensione 4, la molteplicità geometrica dell'autovalore associato è 2, allora avrai sotto blocchi di dimensione 2, quindi in $Ker (A -\lambda I)$ hai 2 vettori mentre in $Ker (A -\lambda I)^2 \\ Ker (A -\lambda I)$ ne hai altri due che si mappano uno su un vettore di $Ker (A -\lambda I)$, uno sull'altro.
mmm ok il caricamento del software "base di jordan" nella mia mente sta al 95%... appena arriva al 100% se ti trovi a pisa ti devo una birra 
Tornando a noi, se ho capito bene quindi supponendo che abbiamo questi 2 sottoblocchi di dimensione 2 (nella fortuita ipotesi che non siano 3 e 1), troverò 4 vettori di base del $ker(A-\lambdaI)^2$ di cui solo due $o_1, o_2$ mi interessano, poichè saranno i soli che non appartengono al $ker(A-\lambdaI)$. e poi gli altri due li trovo facendo $o_3= (A-\lambdaI)(o_1), o_4=(A-\lambdaI)(o_2)$
Ho compreso bene??
p.s. perdonami, ma per mia ignoranza quando dici "mappatura" non capisco che intendi, non lo conosco come termine

Tornando a noi, se ho capito bene quindi supponendo che abbiamo questi 2 sottoblocchi di dimensione 2 (nella fortuita ipotesi che non siano 3 e 1), troverò 4 vettori di base del $ker(A-\lambdaI)^2$ di cui solo due $o_1, o_2$ mi interessano, poichè saranno i soli che non appartengono al $ker(A-\lambdaI)$. e poi gli altri due li trovo facendo $o_3= (A-\lambdaI)(o_1), o_4=(A-\lambdaI)(o_2)$
Ho compreso bene??

p.s. perdonami, ma per mia ignoranza quando dici "mappatura" non capisco che intendi, non lo conosco come termine
Si, se chiami così i vettori nella matrice del cambiamento di base li devi mettere in colonna con ordine $o_3, o_1, o_4, o_2$
E siamo al 100%!!!!
quando passi per pisa ti devo qualcosa al bar
grazie mille per l'aiuto 
stasera ti faccio sapere come è andato l'esame



stasera ti faccio sapere come è andato l'esame

In bocca al lupo allora!
Consideralo morto
