Basi dello spazio quoziente
Salve a tutti, dovrei risolvere questo esercizio...
Sia $w_1 ... w_m$ una base del sottospazio $W$ di $V$ e sia $w_1 ... w_m, v_1 ... v_r$ un prolungamento a una base di $V$. Dimostrare che $[v_1] ... [v_r]$ è una base dello spazio quoziente $V|W$.
Lo so che dovrei postare un mio tentativo di risoluzione, ma proprio non saprei da dove iniziare... so solo che per essere una base dello spazio quoziente quei vettori devono generare lo spazio quoziente e devono essere linearmente indipendenti... Inoltre non so come utilizzare l'informazione del "prolungamento a una base"... spero possiate aiutarmi.
Sia $w_1 ... w_m$ una base del sottospazio $W$ di $V$ e sia $w_1 ... w_m, v_1 ... v_r$ un prolungamento a una base di $V$. Dimostrare che $[v_1] ... [v_r]$ è una base dello spazio quoziente $V|W$.
Lo so che dovrei postare un mio tentativo di risoluzione, ma proprio non saprei da dove iniziare... so solo che per essere una base dello spazio quoziente quei vettori devono generare lo spazio quoziente e devono essere linearmente indipendenti... Inoltre non so come utilizzare l'informazione del "prolungamento a una base"... spero possiate aiutarmi.
Risposte
Comincia a mostrarne l'indipendenza lineare, dai.
Okay, allora presa la loro combinazione lineare, l'equazione $k_1[v_1]+...+k_r[v_r]=0$ deve implicare $k_1=...=k_r=0$. Poichè la moltiplicazione per scalare nello spazio quoziente è definita $k[v] = [kv]$ si ha
$[k_1v_1]+...+[k_rv_r]=0$ e poi?
$[k_1v_1]+...+[k_rv_r]=0$ e poi?
E poi, cosa significa $0$ nello spazio quoziente? Anzi, cosa significa $[\text{una roba}]=[0]$? Lo dico io: significa \(\text{una roba }\in W\). Continua tu partendo dall'ultima cosa che hai scritto
Mmm... Quindi $[k_1v_1 + ... + k_rv_r] = [0]$ Vuol dire che $k_1v_1 + ... + k_rv_r in W$? Ma allora, siccome $v_1...v_r$ non è una base di $W$ un vettore di $W$ così scritto può essere solo il vettore nullo? Quindi $k_1v_1 + ... + k_rv_r = 0$ implica $k_1=...=k_r=0$, visto che $v_1...v_r$ sono linearmente indipendenti... sto dicendo castronerie?
Comunque io di spazio quoziente non so molto... cioè il prof ha dato la definizione di vettori equivalenti modulo W, ha detto che l'insieme delle classi di equivalenza è detto spazio quoziente e ne ha definito la somma e la moltiplicazione per scalare... in pratica, tutto quello che c'è scritto nel terzo esercizio di questa pagina
http://www.dmi.units.it/~zimmerma/Geom1 ... _15%29.pdf
Non è che puoi darmi qualche info utile in più? Fatico a capire la nozione di "classe di equivalenza"
Ad esempio perché vale quello che hai scritto tu? Cioè $[roba]=[0]$ implica $rroba in W$?
Comunque io di spazio quoziente non so molto... cioè il prof ha dato la definizione di vettori equivalenti modulo W, ha detto che l'insieme delle classi di equivalenza è detto spazio quoziente e ne ha definito la somma e la moltiplicazione per scalare... in pratica, tutto quello che c'è scritto nel terzo esercizio di questa pagina
http://www.dmi.units.it/~zimmerma/Geom1 ... _15%29.pdf
Non è che puoi darmi qualche info utile in più? Fatico a capire la nozione di "classe di equivalenza"
Ad esempio perché vale quello che hai scritto tu? Cioè $[roba]=[0]$ implica $rroba in W$?
E' per definizione. Fare il quoziente significa identificare $W$ a zero. Non c'è da sapere molto di più di quanto tu non sappia già, occorre solo esercitarsi un poco per acquisire un minimo di familiarità.
Okay grazie, quello che ho scritto è giusto? E come faccio a dimostrare che generano lo spazio quoziente?
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