Basi dell'immagine dalla matrice di vettori
Buongiorno a tutti,
so bene che quanto sto per chiedere è già stato chiesto milioni di volte su questo forum ed è altresì reperibile in rete o su qualunque libro, ma mi perdonerete se davvero non riesco a capirlo ed ho bisogno di una spiegazione personalizzata.
Sto cercando di fare l'esercizio di due di questo:
http://www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Hom ... ineari.pdf
Arrivo a studiare il determinante.
E mi ritrovo che nel caso di h=1, ho la matrice $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
e fin qui ci sono.
Ora mi chiede di trovare le basi dell'immagini sapendo che l'applicazione linerare è f(x,y,z) -> (x+z , x+y+z, x+z).
Il risultato è (1,1,-1);(0,1,0) e non riesco davvero a capire perchè.
Cosa devo fare esattamente? Sostituire le coordinate nei vettori (x+z, x+y+z) non porta a quel risultato. Considerare il fatto che la base è il massimo numero di colonne indipendenti, non mi porta a niente.
Potreste spiegarmelo passaggio per passaggio come lo spieghereste a vostra nonna?
Grazie mille.
so bene che quanto sto per chiedere è già stato chiesto milioni di volte su questo forum ed è altresì reperibile in rete o su qualunque libro, ma mi perdonerete se davvero non riesco a capirlo ed ho bisogno di una spiegazione personalizzata.
Sto cercando di fare l'esercizio di due di questo:
http://www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Hom ... ineari.pdf
Arrivo a studiare il determinante.
E mi ritrovo che nel caso di h=1, ho la matrice $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
e fin qui ci sono.
Ora mi chiede di trovare le basi dell'immagini sapendo che l'applicazione linerare è f(x,y,z) -> (x+z , x+y+z, x+z).
Il risultato è (1,1,-1);(0,1,0) e non riesco davvero a capire perchè.
Cosa devo fare esattamente? Sostituire le coordinate nei vettori (x+z, x+y+z) non porta a quel risultato. Considerare il fatto che la base è il massimo numero di colonne indipendenti, non mi porta a niente.
Potreste spiegarmelo passaggio per passaggio come lo spieghereste a vostra nonna?
Grazie mille.
Risposte
Se hai l'applicazione lineare definita da
\[ f(x,y,z) = (x+z, x+y+z, x+z) \]
ottenuta cioè ponendo \( h = -1 \), allora la sua matrice associata rispetto alle basi canoniche è immediata, nel senso che vale l'uguaglianza
\[ \mathbf{w} = M_C (f) \mathbf{v} \]
dove \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3 \). Dunque
\[ M_C(f) = \pmatrix{1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1} \]
e si vede subito che tale matrice ha rango \( 2 \), pertanto una base dell'immagine è data da
\[ B = \left ( (1,1,1), (0,1,0) \right ) \]
\[ f(x,y,z) = (x+z, x+y+z, x+z) \]
ottenuta cioè ponendo \( h = -1 \), allora la sua matrice associata rispetto alle basi canoniche è immediata, nel senso che vale l'uguaglianza
\[ \mathbf{w} = M_C (f) \mathbf{v} \]
dove \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3 \). Dunque
\[ M_C(f) = \pmatrix{1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1} \]
e si vede subito che tale matrice ha rango \( 2 \), pertanto una base dell'immagine è data da
\[ B = \left ( (1,1,1), (0,1,0) \right ) \]
Allora vediamo se ho capito:
io prendo i vettori che compongono le immagini (non sono sicuro si chiami così, intendo la parte fra parentesi x+z,x+y+z,x+z) e per qualche ragione sostituisco 1 dentro tutto. Ottengo una matrice e le colonne lin. indipendenti di questa costituiscono le basi dell'immagine.
Non ho capito perchè proprio 1 e non duemilioni?
E non ho neanche capito allora cosa me ne faccio della matrice che ho scritto sopra.
io prendo i vettori che compongono le immagini (non sono sicuro si chiami così, intendo la parte fra parentesi x+z,x+y+z,x+z) e per qualche ragione sostituisco 1 dentro tutto. Ottengo una matrice e le colonne lin. indipendenti di questa costituiscono le basi dell'immagine.
Non ho capito perchè proprio 1 e non duemilioni?
E non ho neanche capito allora cosa me ne faccio della matrice che ho scritto sopra.
Parti da qui:
\[ f_h (x,y,z) = (x-hz, x+y-hz, -hx+z) \]
dove \( h \in \mathbb{R} \).
Lo svolgimento che ci hai postato svolge il calcolo del determinante della matrice associata ad \( f_h \) rispetto alla base canonica (che sarebbe la matrice \( M_C (f_h) \)). Se il determinante è diverso da zero, allora l'applicazione è invertibile e risulta in particolare \( \ker f_h = \lbrace \mathbf{0} \rbrace \) e \( \text{Im}\, f_h = \mathbb{R}^3 \).
Il determinante è non nullo per \( h \ne \pm 1 \), pertanto ora studi i casi \( h = 1 \) e \( h = -1 \) per vedere come cambiano le dimensioni di nucleo e immagine.
Se \( h = 1 \), hai la matrice da te scritta inizialmente, se \( h = -1 \) hai invece la matrice che ti ho scritto io. In entrambi i casi si vede subito che le matrici hanno rango \( 2 \) e dunque sono sufficienti due vettori per individuare una base dell'immagine. Il caso \( h = -1 \) l'ho risolto nel post precedente.
\[ f_h (x,y,z) = (x-hz, x+y-hz, -hx+z) \]
dove \( h \in \mathbb{R} \).
Lo svolgimento che ci hai postato svolge il calcolo del determinante della matrice associata ad \( f_h \) rispetto alla base canonica (che sarebbe la matrice \( M_C (f_h) \)). Se il determinante è diverso da zero, allora l'applicazione è invertibile e risulta in particolare \( \ker f_h = \lbrace \mathbf{0} \rbrace \) e \( \text{Im}\, f_h = \mathbb{R}^3 \).
Il determinante è non nullo per \( h \ne \pm 1 \), pertanto ora studi i casi \( h = 1 \) e \( h = -1 \) per vedere come cambiano le dimensioni di nucleo e immagine.
Se \( h = 1 \), hai la matrice da te scritta inizialmente, se \( h = -1 \) hai invece la matrice che ti ho scritto io. In entrambi i casi si vede subito che le matrici hanno rango \( 2 \) e dunque sono sufficienti due vettori per individuare una base dell'immagine. Il caso \( h = -1 \) l'ho risolto nel post precedente.
Adesso è diventato chiaro.
Mi ero dimenticato di ringraziarti.
Mi ero dimenticato di ringraziarti.
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