Basi dell'Immagine
Salve a tutti, scusate le domande stupide che sto per porvi, ma sto andando in crisi con delle cose veramente banali.
Per ricavarci una base di \(\displaystyle Im(\phi) \) quando abbiamo la matrice associata \(\displaystyle A \) è possibile operare per colonne (tuttavia non è valida la sostituzione di una colonna per un suo multiplo ( \(\displaystyle I \rightarrow -3I \) ) ma è comunque possibile aggiungere un multiplo di un'altra colonna ( \(\displaystyle I \rightarrow I -3II \) ) ). Una volta che siamo giunti ad una configurazione a scaletta possiamo prenderci direttamente quei vettori a scaletta (disposti in colonne) come basi oppure questo ci serve solamente per determinare il rango della matrice ed eventualmente per capire quali tra i vettori iniziali posti nella matrice sono la base dell'immagine?
Ulteriore domanda: ho letto che per determinare facilmente la base dell'immagine è possibile operare per righe in \(\displaystyle A \). Una volta che ci determiniamo la forma a scaletta con il metodo di Gauss, le colonne della matrice INIZIALE che corrispondo alle colonne in cui ci sono i pivot nella matrice RIDOTTA sono una base per l'immagine. E questo proprio perché lavorando con le righe stiamo "lavorando" nel \(\displaystyle Ker(\phi) \) . In tal caso la cosa sarebbe veramente comoda perchè ci si trova al tempo stesso sia la base di \(\displaystyle Ker(\phi) \) risolvendo poi il sistema associato ma anche una base di \(\displaystyle Im(\phi) \) senza passare per ulteriori conti. È corretto?
Scusatemi, sicuramente sarò stato poco chiaro e mi son ripetuto a non finire, ma ho veramente bisogno di capire queste cose il prima possibile
Per ricavarci una base di \(\displaystyle Im(\phi) \) quando abbiamo la matrice associata \(\displaystyle A \) è possibile operare per colonne (tuttavia non è valida la sostituzione di una colonna per un suo multiplo ( \(\displaystyle I \rightarrow -3I \) ) ma è comunque possibile aggiungere un multiplo di un'altra colonna ( \(\displaystyle I \rightarrow I -3II \) ) ). Una volta che siamo giunti ad una configurazione a scaletta possiamo prenderci direttamente quei vettori a scaletta (disposti in colonne) come basi oppure questo ci serve solamente per determinare il rango della matrice ed eventualmente per capire quali tra i vettori iniziali posti nella matrice sono la base dell'immagine?
Ulteriore domanda: ho letto che per determinare facilmente la base dell'immagine è possibile operare per righe in \(\displaystyle A \). Una volta che ci determiniamo la forma a scaletta con il metodo di Gauss, le colonne della matrice INIZIALE che corrispondo alle colonne in cui ci sono i pivot nella matrice RIDOTTA sono una base per l'immagine. E questo proprio perché lavorando con le righe stiamo "lavorando" nel \(\displaystyle Ker(\phi) \) . In tal caso la cosa sarebbe veramente comoda perchè ci si trova al tempo stesso sia la base di \(\displaystyle Ker(\phi) \) risolvendo poi il sistema associato ma anche una base di \(\displaystyle Im(\phi) \) senza passare per ulteriori conti. È corretto?
Scusatemi, sicuramente sarò stato poco chiaro e mi son ripetuto a non finire, ma ho veramente bisogno di capire queste cose il prima possibile
Risposte
Cominciamo col fatto che il rango della matrice associata ad una applicazione lineare ti dice quante colonne ( o righe ) sono linearmente indipendenti. Il fatto è che il calcolo del rango ti semplifica molto la vita e ti permette di vedere se c'è una colonna o una riga che risulta essere combinazione lineare delle altre, ma il rango in se ti dice "solamente" il numero massimo di righe o colonne ( dipende da come calcoli il rango) linearmente indipendenti. Ricorda comunque che il rango di una matrice è uguale a quello della sua trasposta. La seconda parte della domanda non mi è molto chiara potresti spiegare meglio?
Intanto grazie per la risposta, veramente. Comunque sì, mi era già chiaro che il rango serve per quello, ma io mi riferivo un fatto un po' diverso. Se eseguo operazioni sulle colonne i vettori a scaletta così trovati possono essere utilizzati come base dell'immagine? Se sì, che tipo di operazioni posso eseguire tra le colonne affinchè il procedimento sia valido? O in realtà le operazioni in questo modo servono solo per determinare il rango?
Per quanto riguarda la seconda parte della domanda, mi chiedevo se il metodo qui spiegato: http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/MatDisc2012/Pages/metodoimmagine.pdf è valido o meno.
Grazie mille comunque
Per quanto riguarda la seconda parte della domanda, mi chiedevo se il metodo qui spiegato: http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/MatDisc2012/Pages/metodoimmagine.pdf è valido o meno.
Grazie mille comunque
In poche parole "calcolando" il rango per righe ( che è equivalente a quello per colonne) di una matrice puoi utilizzare come un algoritmo che consiste nello spostare gli zeri sotto la diagonale principale della matrice. Quindi consideri una colonna alla volta e provvedi (in modo che il rango non si modifichi) a far in modo che sotto la diagonale principale si trovino zeri, in questo modo consideri ogni elemento della diagonale e se tale elemento è uguale a zero e non è possibile effettuare scambi di righe per avere un elemento non nullo (se quindi sotto tale elemento sono presenti solo zeri) allora puoi affermare che quella colonna è combinazione lineare delle precedenti, quindi linearmente dipendente e eliminabile ai fini del calcolo del rango.
Quindi i vettori a scaletta che trovi calcolandoti il rango non ti forniscono una base (almeno non sempre). Ad esempio in una matrice 4x4 se il rango della matrice è 3 allora una volta effettuata la riduzione di gauss potrai vedere che una colonna (o riga) è linearmente dipendente rispetto alle altre.
Spero di essere stato chiaro
Quindi i vettori a scaletta che trovi calcolandoti il rango non ti forniscono una base (almeno non sempre). Ad esempio in una matrice 4x4 se il rango della matrice è 3 allora una volta effettuata la riduzione di gauss potrai vedere che una colonna (o riga) è linearmente dipendente rispetto alle altre.
Spero di essere stato chiaro
Perfetto, chiaro 
Ma per quanto riguarda il metodo usato nel pdf che ho postato poco fa è la stessa cosa? A me sembra invece valido come metodo, o perlomeno ho fatto qualche verifica in qualche esercizio e in effetti funziona. Il dubbio è se è solo un caso o c'è una vera e propria motivazione (non ho ben chiaro quando si dice "durante le operazioni di riga ciascuna
colonna si trasforma senza interagire con le altre colonne, dunque nel nostro caso
le tre colonne si trasformano esattamente come si erano trasformate prima" : i vettori, dopo le operazioni in riga, son totalmente diversi e non riesco a trovarne una correlazione con quelli iniziali). Scusami, ma stasera son fuso, abbi pazienza, grazie comunque
Ma per quanto riguarda il metodo usato nel pdf che ho postato poco fa è la stessa cosa? A me sembra invece valido come metodo, o perlomeno ho fatto qualche verifica in qualche esercizio e in effetti funziona. Il dubbio è se è solo un caso o c'è una vera e propria motivazione (non ho ben chiaro quando si dice "durante le operazioni di riga ciascuna
colonna si trasforma senza interagire con le altre colonne, dunque nel nostro caso
le tre colonne si trasformano esattamente come si erano trasformate prima" : i vettori, dopo le operazioni in riga, son totalmente diversi e non riesco a trovarne una correlazione con quelli iniziali). Scusami, ma stasera son fuso, abbi pazienza, grazie comunque
Diciamo che crei una "corrispondenza" tra le colonne e i vettori. In poche parole se te metti i vettori in colonna e la terza colonna è combinazione lineare delle due precedenti è ovvio che quel vettore (non quello ottenuto con la riduzione) sia linearmente dipendente e non contribuisce a formare una base. Puoi verificarlo utilizzando semplicemente la definizione di lineare dipendenza/indipendenza.
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