Basi al variare di un parametro
Ciao a tutti, ho questo esercizio da esame che mi perplime parecchio:
Nello spazio vettoriale V delle matrici reali quadrate di ordine 2 si considerino il sottospazio $U_h=$ generato dalle matrici $A_h=[[1,h],[1,1]]$ e $B_h=[[h,-h],[h,h]]$ e il sottospazio $W_h={[[a,b],[c,d]] | a+hb+c-hd=ha+b+hc-d=0}$, con $hinRR$.
(a) Al variare del parametro h, si determinino la dimensione e una base di $U_h$.
(b) Al variare del parametro h, si determinino la dimensione e una base di $W_h$.
(c) Nei casi $h=-1,0,1$ si stabilisca se $V=U_h⊕W_h$.
Allora, davvero non so dove andare a parare. Comincio dal primo: il mio abbozzo di idea è che $U_h$ avrà dimensione pari a $1$ se $A_h$ e $B_h$ risultano essere linearmente dipendenti per certi valori di $h$, mentre sarà di dimensione $2$ per i valori di h che rendono i generatori linearmente indipendenti. Ma come proseguo? Lo devo vedere a occhio o c'è una strada più pratica? Ad esempio, se $h=-1$ A e B diventano linearmente dipendenti, se non mi sbaglio. Come controllo se ci sono altri valori di h meno immediati?
Nello spazio vettoriale V delle matrici reali quadrate di ordine 2 si considerino il sottospazio $U_h=
(a) Al variare del parametro h, si determinino la dimensione e una base di $U_h$.
(b) Al variare del parametro h, si determinino la dimensione e una base di $W_h$.
(c) Nei casi $h=-1,0,1$ si stabilisca se $V=U_h⊕W_h$.
Allora, davvero non so dove andare a parare. Comincio dal primo: il mio abbozzo di idea è che $U_h$ avrà dimensione pari a $1$ se $A_h$ e $B_h$ risultano essere linearmente dipendenti per certi valori di $h$, mentre sarà di dimensione $2$ per i valori di h che rendono i generatori linearmente indipendenti. Ma come proseguo? Lo devo vedere a occhio o c'è una strada più pratica? Ad esempio, se $h=-1$ A e B diventano linearmente dipendenti, se non mi sbaglio. Come controllo se ci sono altri valori di h meno immediati?
Risposte
Ciao,
sia $B= \{ \([1,0],[0,0]), ([0,1],[0, 0]), ( [0, 0], [1, 0]), ([0, 0], [0, 1]) \}$ la base standard di $M(2, \mathbb{R})$, considera l'isomorfismo $[ ]_B$ indotto da $B$ che associa ad ogni matrice $A \in M(2, \mathbb{R})$ il vettore delle sue coordinate rispetto a $B$, in pratica se $A = ( (a, b), (c, d))$ l'immagine $[A]_B = (a, b, c, d)$. Il problema di controllare se le due matrici $A_h$ e $B_h$ sono linearmente indipendenti si riduce a capire quando i vettori $(1, h, 1, 1)$ e $(h, -h, h, h)$ lo sono.
sia $B= \{ \([1,0],[0,0]), ([0,1],[0, 0]), ( [0, 0], [1, 0]), ([0, 0], [0, 1]) \}$ la base standard di $M(2, \mathbb{R})$, considera l'isomorfismo $[ ]_B$ indotto da $B$ che associa ad ogni matrice $A \in M(2, \mathbb{R})$ il vettore delle sue coordinate rispetto a $B$, in pratica se $A = ( (a, b), (c, d))$ l'immagine $[A]_B = (a, b, c, d)$. Il problema di controllare se le due matrici $A_h$ e $B_h$ sono linearmente indipendenti si riduce a capire quando i vettori $(1, h, 1, 1)$ e $(h, -h, h, h)$ lo sono.
Grazie per la risposta. Allora, ho impostato il sistema e sono arrivato a:
${(hx=hy),(x+hy=0):} rarr {(x=y),((h+1)x=0):}$
Però temo di sbagliare a trarre le conclusioni... Se $h=-1$ l'equazione è risolta per qualunque valore di x e dunque di y, e si ha la dipendenza lineare. Per ogni altro valore di h è la x ad essere pari a 0, e dunque la y, e si ha l'indipendenza lineare. Una cosa però mi lascia in dubbio: non avrei dovuto trovare che anche $h=0$ dà la dipendenza lineare, in quanto la seconda matrice sarebbe nulla e dunque l.d. in ogni gruppo di matrici?
In ogni caso ho applicato lo stesso metodo al secondo punto: riscrivo la condizione come $d=ha+b+hc$ e $W_h$ come la seguente combinazione lineare: $a[[1,0],[0,h]] + b[[0,1],[0,1]]+c[[0,0],[1,h]]$. Dunque un sistema di generatori è formato dagli elementi $[[1,0],[0,h]],[[0,1],[0,1]],[[0,0],[1,h]]$.
A questo punto sfrutto ancora l'isomorfismo per studiare l'indipendenza lineare dei vettori corrispondenti. Mi viene che sono l.i. per ogni valore di h. Dunque $dimW_h=3$ e per avere una base posso scegliere un qualunque valore di h.
E' corretto fino a qua?
${(hx=hy),(x+hy=0):} rarr {(x=y),((h+1)x=0):}$
Però temo di sbagliare a trarre le conclusioni... Se $h=-1$ l'equazione è risolta per qualunque valore di x e dunque di y, e si ha la dipendenza lineare. Per ogni altro valore di h è la x ad essere pari a 0, e dunque la y, e si ha l'indipendenza lineare. Una cosa però mi lascia in dubbio: non avrei dovuto trovare che anche $h=0$ dà la dipendenza lineare, in quanto la seconda matrice sarebbe nulla e dunque l.d. in ogni gruppo di matrici?
In ogni caso ho applicato lo stesso metodo al secondo punto: riscrivo la condizione come $d=ha+b+hc$ e $W_h$ come la seguente combinazione lineare: $a[[1,0],[0,h]] + b[[0,1],[0,1]]+c[[0,0],[1,h]]$. Dunque un sistema di generatori è formato dagli elementi $[[1,0],[0,h]],[[0,1],[0,1]],[[0,0],[1,h]]$.
A questo punto sfrutto ancora l'isomorfismo per studiare l'indipendenza lineare dei vettori corrispondenti. Mi viene che sono l.i. per ogni valore di h. Dunque $dimW_h=3$ e per avere una base posso scegliere un qualunque valore di h.
E' corretto fino a qua?
"Obtusus":
Grazie per la risposta. Allora, ho impostato il sistema e sono arrivato a:
${(hx=hy),(x+hy=0):} rarr {(x=y),((h+1)x=0):}$
Ok ma qui la semplificazione $hx = hy rarr x=y$ ha senso solo se $h != 0$, quindi devi analizzare anceh il caso $h = 0$.
In ogni caso ho applicato lo stesso metodo al secondo punto: riscrivo la condizione come $d=ha+b+hc$ e $W_h$ come la seguente combinazione lineare: $a[[1,0],[0,h]] + b[[0,1],[0,1]]+c[[0,0],[1,h]]$. Dunque un sistema di generatori è formato dagli elementi $[[1,0],[0,h]],[[0,1],[0,1]],[[0,0],[1,h]]$.
Strategia corretta solo che ti sei dimenticato della seconda condizione $a+hb+c-hd=0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo