Basi
Se $B={v_1,v_2,v_3,v_4}$ è una base di $V$, è vero che $C={v_1+v_2+v_3,v_2+v_3+v_4,v_1+v_3+v_4,v_1+v_2+v_4}$ è una base di $V$?
Premessa: Spero di essere sulla buona strada
Per verificare se una serie di vettori è una base di un sottospazio vettoriale metto i vettori in forma matriciale e calcolo il rango.
In questo caso non ho vettori noti, ma solo una serie di vettori generici.
Esempio: di solito ho una serie di vettori noti, per esempio $v_1=(1,0,-1)$ $v_2=(2,2,0)$ $v_3=(1,1,1)$ di uno spazio $R^3$
Quindi ragiono a questa maniera: metto i tre vettori in forma matriciale e e calcolo il rango, se il rango è 3, in questo caso, i vettori sono una base di $R^3$.
Ma nel mio caso come procedo?
Assegno dei valori a $v_1$,$v_2$,$v_3$,$v_4$? Penso che $V$ sia sia un sottospazio appartenente a $R^4$ se non sbaglio.
Quindi una volta trovati dei valori da assegnare ai vettori, verifico se $C$ soddisfa la stessa cosa di $B$? Cioè che il rango di $C$ sia uguale a quello di $B$?
Spero di essere sulla buona strada
Premessa: Spero di essere sulla buona strada
Per verificare se una serie di vettori è una base di un sottospazio vettoriale metto i vettori in forma matriciale e calcolo il rango.
In questo caso non ho vettori noti, ma solo una serie di vettori generici.
Esempio: di solito ho una serie di vettori noti, per esempio $v_1=(1,0,-1)$ $v_2=(2,2,0)$ $v_3=(1,1,1)$ di uno spazio $R^3$
Quindi ragiono a questa maniera: metto i tre vettori in forma matriciale e e calcolo il rango, se il rango è 3, in questo caso, i vettori sono una base di $R^3$.
Ma nel mio caso come procedo?
Assegno dei valori a $v_1$,$v_2$,$v_3$,$v_4$? Penso che $V$ sia sia un sottospazio appartenente a $R^4$ se non sbaglio.
Quindi una volta trovati dei valori da assegnare ai vettori, verifico se $C$ soddisfa la stessa cosa di $B$? Cioè che il rango di $C$ sia uguale a quello di $B$?
Spero di essere sulla buona strada
Risposte
io cercherei di capire se i vettori che formano $C$ sono linearmente indipendenti e se generano $V$, a questo punto hai la definizione di base un piatto d'argento.
mi ricordo anche che una volta la prof. aveva detto che se uno spazio vettoriale ha dimensione $n$ allora si comporta come $RR^n$. a questo punto prendi come base B la base canonica e calcoli il rango di C, s è massimo sono indipendenti a questo punto verifichi che generano V.
mi ricordo anche che una volta la prof. aveva detto che se uno spazio vettoriale ha dimensione $n$ allora si comporta come $RR^n$. a questo punto prendi come base B la base canonica e calcoli il rango di C, s è massimo sono indipendenti a questo punto verifichi che generano V.
"cooper":
io cercherei di capire se i vettori che formano $C$ sono linearmente indipendenti e se generano $V$, a questo punto hai la definizione di base un piatto d'argento.
mi ricordo anche che una volta la prof. aveva detto che se uno spazio vettoriale ha dimensione $n$ allora si comporta come $RR^n$. a questo punto prendi come base B la base canonica e calcoli il rango di C, s è massimo sono indipendenti a questo punto verifichi che generano V.
Come faccio a verificare la prima delle due?
Pongo ogni singolo vettore uguale a zero?
Es: $v_1+v_2+v_3=0$
stessa cosa con gli altri...
Invece per il secondo punto?
come compongo in forma matriciale $C$? Lo formo con una composizione canonica?
non vettore per vettore ma tra di loro e soprattutto una combinazione lineare degli stessi.per cui qualcosa come
$ { ( lambda(v_1+v_2+v_3) =0),( beta(v_2+v_3+v_4)=0 ),( gamma(v_1+v_3+v_4)=0 ),( delta(v_1+v_2+v_4)=0 ):} $ se e solo se $lambda=beta=gamma=delta=0$
viene forse più semplice nel secondo caso dove $v_1=e_1$ ecc
a questo punto scrivi esplicitamente i vettori di C e hai la tua matrice da ridurre
$ { ( lambda(v_1+v_2+v_3) =0),( beta(v_2+v_3+v_4)=0 ),( gamma(v_1+v_3+v_4)=0 ),( delta(v_1+v_2+v_4)=0 ):} $ se e solo se $lambda=beta=gamma=delta=0$
viene forse più semplice nel secondo caso dove $v_1=e_1$ ecc
a questo punto scrivi esplicitamente i vettori di C e hai la tua matrice da ridurre
"cooper":
non vettore per vettore ma tra di loro e soprattutto una combinazione lineare degli stessi.per cui qualcosa come
$ { ( lambda(v_1+v_2+v_3) =0),( beta(v_2+v_3+v_4)=0 ),( gamma(v_1+v_3+v_4)=0 ),( delta(v_1+v_2+v_4)=0 ):} $ se e solo se $lambda=beta=gamma=delta=0$
viene forse più semplice nel secondo caso dove $v_1=e_1$ ecc
a questo punto scrivi esplicitamente i vettori di C e hai la tua matrice da ridurre
Vediamo se ho capito:
Pongo $v_1=(1,0,0,0),v_2=(0,1,0,0), v_3=(0,0,1,0), v_4=(0,0,0,1)$
e calcolo $C={(1,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,0,1,1)}$
Porto $C$ in forma matriciale e studio il rango:
$C=((1,0,1,1),(1,1,0,0),(1,1,1,1),(0,1,1,1))$
Riducendo a scalini la matrice ottengo $C=((1,0,1,1),(1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,0))$ quindi il rango non è sicuramente 4, infatti il rango è $Rg(C)=3$
Visto che il rango è 3 e lo spazio vettoriale lo abbiamo inteso come $R^4$ possiamo dire che $C$ non è una base di $V$.
Sbaglio?
mi verrebbe da dire di no (non sbagli), ma aspetta magari anche qualche altro parere
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