Base sottospazio vettoriale (polinomi)
Ciao a tutti, ho qualche problema con un esercizio. Mi viene richiesto di dimostrare che
\(\displaystyle V :=\)\(\displaystyle \{p(x) \epsilon Q[x]_{<=2} | p(1)=p(0)\} \)
sia sottospazio di $ Q[x]_{<=2}$, e di determinare una base di $V$ su $Q$.
La dimostrazione che è effettivamente sottospazio è piuttosto banale: il polinomio generico è $p(x) = a+bx+cx^2$, dunque è facilmente dimostrabile che esiste lo zero, $p(x1+x2) = p(x1)+p(x2)$ e che $p(kx) = k p(x)$ .
Tuttavia incontro dei problemi quando devo imporre la condizione $p(1)=p(0)$ per trovare una base. Quello che farei intuitivamente è questo:
$a+b+c = 0$
ma non ne sono molto convinto...Come dovrei comportarmi in queste condizioni?
Grazie in anticipo!
\(\displaystyle V :=\)\(\displaystyle \{p(x) \epsilon Q[x]_{<=2} | p(1)=p(0)\} \)
sia sottospazio di $ Q[x]_{<=2}$, e di determinare una base di $V$ su $Q$.
La dimostrazione che è effettivamente sottospazio è piuttosto banale: il polinomio generico è $p(x) = a+bx+cx^2$, dunque è facilmente dimostrabile che esiste lo zero, $p(x1+x2) = p(x1)+p(x2)$ e che $p(kx) = k p(x)$ .
Tuttavia incontro dei problemi quando devo imporre la condizione $p(1)=p(0)$ per trovare una base. Quello che farei intuitivamente è questo:
$a+b+c = 0$
ma non ne sono molto convinto...Come dovrei comportarmi in queste condizioni?
Grazie in anticipo!
Risposte
La condizione $p(1)=p(0)$ si traduce in $a+b+c=a$ da cui $c=-b$ . Pertanto i polinomi richiesti sono del tipo :
$p(x)=a+bx-bx^2$
Essi contengono i due parametri "liberi " $a,b$ e quindi il sottospazio in questione ha dimensione 2. Per trovare una base servono dunque due polinomi (l.i.) del tipo detto.
Per $a=b=1$ si ha il polinomio $1+x-x^2$
Per $a=1,b=-1$ si ha il polinomio $1-x+x^2$
E quindi la base richiesta ( una delle tante...) può essere scritta come :
${1+x-x^2,1-x+x^2}$
$p(x)=a+bx-bx^2$
Essi contengono i due parametri "liberi " $a,b$ e quindi il sottospazio in questione ha dimensione 2. Per trovare una base servono dunque due polinomi (l.i.) del tipo detto.
Per $a=b=1$ si ha il polinomio $1+x-x^2$
Per $a=1,b=-1$ si ha il polinomio $1-x+x^2$
E quindi la base richiesta ( una delle tante...) può essere scritta come :
${1+x-x^2,1-x+x^2}$
Ti ringrazio sei stato chiarissimo. Vorrei solo un ultimo consiglio su un altro punto dell'esercizio.
$\forall h$ $\in Q$ poniamo $p_h(x) = h^2x^2+(2-3h)x+9$ . Per quali valori di $h$ si avrà che $Q[x]_{<=2} = V \oplus$.
Ho pensato di utilizzare la formula di Grassmann che mi fa capire che, avendo Q dimensione 3, e V dimensione 2, per avere l'intersezione vuota necessariamente
$\forall h$ $\in Q$ poniamo $p_h(x) = h^2x^2+(2-3h)x+9$ . Per quali valori di $h$ si avrà che $Q[x]_{<=2} = V \oplus
Ho pensato di utilizzare la formula di Grassmann che mi fa capire che, avendo Q dimensione 3, e V dimensione 2, per avere l'intersezione vuota necessariamente
dovrà avere dimensione 1. Avrà dimensione 1 se e solo se h = 0... è corretto?
Non vorrei sbagliare ma a me pare che il ragionamento sia diverso ( forse hai confuso grado di un polinomio con dimensione del sottospazio $)$. Osservo prima di tutto che $$ ha già dimensione $1$ in quanto ha $h$ come unico parametro libero. Affinché l'intersezione tra $V$ e $$ sia vuota basta imporre che nessun polinomio $9+(2-3h)x+h^2x^2$ sia del tipo $a+bx-bx^2$, abbia cioè il secondo ed il terzo coefficiente opposti ( nell'ordine in cui sono stati dati). In altre parole non deve verificarsi la relazione :
$2-3h=-h^2$
E poiché la suddetta relazione è valida per $h=1,h=2$ posso concludere che $h$ può prendere ogni valore razionale ad eccezione di $h=1,h=2$, appunto.
N.B. Per maggior sicurezza aspetterei altre conferme.
$2-3h=-h^2$
E poiché la suddetta relazione è valida per $h=1,h=2$ posso concludere che $h$ può prendere ogni valore razionale ad eccezione di $h=1,h=2$, appunto.
N.B. Per maggior sicurezza aspetterei altre conferme.
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