Base sottospazio vettoriale e equazioni cartesiane
Ciao a tutti,
scusate se vi disturbo ancora ma avrei una domanda su basi sottospazio vettoriale e equazioni cartesiane. Forse affrontando la tematica da un altro punto di vista mi aiuterà a capire meglio il tutto.
Sto facendo riferimento al "Sernesi" preposizione 4.18.
La preposizione afferma:
Sia \(\displaystyle \textbf{V} \) uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), \(\displaystyle \textbf{b}={ \textbf{b}_1,...., \textbf{b}_n} \) una sua base, e \(\displaystyle \textbf{W} \) un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \textbf{V} \). Allora \(\displaystyle \textbf{W} \) possiede equazioni cartesiane rispetto a \(\displaystyle \textbf{b} \).
Dimostrazione:
Sia \(\displaystyle \textbf{f}_1 =\sum_{j=1}^n \beta_{1,j} \textbf{b}_j,...,\textbf{f}_m=\sum_{j=1}^n \beta_{1,m} \textbf{b}_j \) una base di \(\displaystyle \textbf{V} \)
Qui mi è chiaro, uso la base di V per costruirmi la base di W
Consideriamo il sistema omogeneo:
\(\displaystyle B \textbf{X} = \textbf{0} \)
dove \(\displaystyle \textbf{B}=(\beta_{ij}) \) e \(\displaystyle \textbf{X} = ^t(X_1,...,X_n) \)
Sia \(\displaystyle {(a_{1,1},...,,a_{1,n}),...,(a_{n-m,1},...,,a_{n-m,n}) } \) una base dello spazio delle soluzione.
Qui praticamente tra tutte le m-n soluzioni ne scelgo una; base perchè sono L.I.
Allora le coordinate dei vettori \(\displaystyle \textbf{f}_1,...,\textbf{f}_1 \) sono soluzioni del sistema omogeneo:
\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{1,j} X_j =0 \)
\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{n-m,j} X_j =0 \)
Qui mi sono perso, forse perché non riesco a visualizzarmi la cosa .
Grazie per qualsiasi aiuto.
scusate se vi disturbo ancora ma avrei una domanda su basi sottospazio vettoriale e equazioni cartesiane. Forse affrontando la tematica da un altro punto di vista mi aiuterà a capire meglio il tutto.
Sto facendo riferimento al "Sernesi" preposizione 4.18.
La preposizione afferma:
Sia \(\displaystyle \textbf{V} \) uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), \(\displaystyle \textbf{b}={ \textbf{b}_1,...., \textbf{b}_n} \) una sua base, e \(\displaystyle \textbf{W} \) un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \textbf{V} \). Allora \(\displaystyle \textbf{W} \) possiede equazioni cartesiane rispetto a \(\displaystyle \textbf{b} \).
Dimostrazione:
Sia \(\displaystyle \textbf{f}_1 =\sum_{j=1}^n \beta_{1,j} \textbf{b}_j,...,\textbf{f}_m=\sum_{j=1}^n \beta_{1,m} \textbf{b}_j \) una base di \(\displaystyle \textbf{V} \)
Qui mi è chiaro, uso la base di V per costruirmi la base di W
Consideriamo il sistema omogeneo:
\(\displaystyle B \textbf{X} = \textbf{0} \)
dove \(\displaystyle \textbf{B}=(\beta_{ij}) \) e \(\displaystyle \textbf{X} = ^t(X_1,...,X_n) \)
Sia \(\displaystyle {(a_{1,1},...,,a_{1,n}),...,(a_{n-m,1},...,,a_{n-m,n}) } \) una base dello spazio delle soluzione.
Qui praticamente tra tutte le m-n soluzioni ne scelgo una; base perchè sono L.I.
Allora le coordinate dei vettori \(\displaystyle \textbf{f}_1,...,\textbf{f}_1 \) sono soluzioni del sistema omogeneo:
\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{1,j} X_j =0 \)
\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{n-m,j} X_j =0 \)
Qui mi sono perso, forse perché non riesco a visualizzarmi la cosa .
Grazie per qualsiasi aiuto.
Risposte
"diedro":
Sia \(\displaystyle \textbf{f}_1 =\sum_{j=1}^n \beta_{1,j} \textbf{b}_j,...,\textbf{f}_m=\sum_{j=1}^n \beta_{1,m} \textbf{b}_j \) una base di \(\displaystyle \textbf{V} \)
Credo che qui gli \(\displaystyle F_i \) sono una base di \(\displaystyle W \) (devi dimostrare una roba su W)
"diedro":
Consideriamo il sistema omogeneo:
\(\displaystyle B \textbf{X} = \textbf{0} \)
dove \(\displaystyle \textbf{B}=(\beta_{ij}) \) e \(\displaystyle \textbf{X} = ^t(X_1,...,X_n) \)
Sia \(\displaystyle {(a_{1,1},...,,a_{1,n}),...,(a_{n-m,1},...,,a_{n-m,n}) } \) una base dello spazio delle soluzione.
Qui praticamente tra tutte le m-n soluzioni ne scelgo una; base perchè sono L.I.
Non ho capito che intendi, comunque qui scegli tutte le m n-uple l.i. perché consideri una base
"diedro":
Allora le coordinate dei vettori \(\displaystyle \textbf{f}_1,...,\textbf{f}_1 \) sono soluzioni del sistema omogeneo:
\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{1,j} X_j =0 \)
\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{n-m,j} X_j =0 \)
Qui mi sono perso, forse perché non riesco a visualizzarmi la cosa .
Qui devi solo sostituire i \(\displaystyle b_(i,j) \) al posto degli \(\displaystyle X_j \), ma hai detto poco prima che il sistema con i termini \(\displaystyle b_(i,j) \) si risolve con le n-uple \(\displaystyle a_(i,j) \), se fai il contrario non cambia nulla.
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