Base Sottospazio Vettoriale
Ciao a tutti!
Mi aiutereste a comprender perchè, la seguente, non può esser una base del sottospazio $R^3$?
E’ data l’applicazione lineare $f$ : $R^3$ $->$ $R^3$ associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice
A=$((2,1,-1),(-2,-1,1),(2,1,-1))$
determinare una base di $kerf$.
Dobbiamo quindi cercare le soluzioni del sistema $A*X = 0$. Riducendo la matrice, che risulterà avere rango 1, si ottiene dunque l'equazione:
$2x+y-z= 0$
Ponendo arbitrariamente dapprima $y= 0$, in seguito $z= 0$ otterremo che una base di $kerf$ potrebbe essere:
$(1/2, 0, 1)$,$(-1/2,1,0)$.
Questa la mia risoluzione, che però è stata considerata sbagliata.
Perchè?
Grazie!
Mi aiutereste a comprender perchè, la seguente, non può esser una base del sottospazio $R^3$?
E’ data l’applicazione lineare $f$ : $R^3$ $->$ $R^3$ associata, rispetto alle basi canoniche, alla matrice
A=$((2,1,-1),(-2,-1,1),(2,1,-1))$
determinare una base di $kerf$.
Dobbiamo quindi cercare le soluzioni del sistema $A*X = 0$. Riducendo la matrice, che risulterà avere rango 1, si ottiene dunque l'equazione:
$2x+y-z= 0$
Ponendo arbitrariamente dapprima $y= 0$, in seguito $z= 0$ otterremo che una base di $kerf$ potrebbe essere:
$(1/2, 0, 1)$,$(-1/2,1,0)$.
Questa la mia risoluzione, che però è stata considerata sbagliata.
Perchè?
Grazie!
Risposte
In realtà è l'esercizio di un esame sostenuto nel quale sono stati rinvenuti degli errori. Mi sto fasciando la testa ancor prima di rompermela. Attenderò lunedì per consultarlo. Grazie per avermi fatto acquisire maggior sicurezza sulla cosa.
Vorrei esplicitarLe un altro dubbio.
In riferimento alla matrice $A$ (di cui sopra) mi vien chiesto di determinare l'insieme delle controimmagini del vettore $(2,-2,2)$.
Partiam dal presupposto che il sistema sia risolubile essendo $\rho$$(A)$= $\rho$$(A|B)$ e risulti avere infinite soluzioni.
Ora, dal momento che so, che ogni vettore è combinazione lineare delle sue basi ed essendo i vettori della matrice $A$ associati alla base canonica la mia soluzione sarebbe:
$f^(-1)$ $(2,-2,2)$ = $a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)+(2,-2,2)$
dove, $a,b,c$ sono delle costanti.
Risulterebbe corretto come ragionamento?
Grazie davvero.
Vorrei esplicitarLe un altro dubbio.
In riferimento alla matrice $A$ (di cui sopra) mi vien chiesto di determinare l'insieme delle controimmagini del vettore $(2,-2,2)$.
Partiam dal presupposto che il sistema sia risolubile essendo $\rho$$(A)$= $\rho$$(A|B)$ e risulti avere infinite soluzioni.
Ora, dal momento che so, che ogni vettore è combinazione lineare delle sue basi ed essendo i vettori della matrice $A$ associati alla base canonica la mia soluzione sarebbe:
$f^(-1)$ $(2,-2,2)$ = $a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)+(2,-2,2)$
dove, $a,b,c$ sono delle costanti.
Risulterebbe corretto come ragionamento?
Grazie davvero.
Troverei le stesse controimmagini per tutte le infinite applicazioni da $R3$ ad $R3$ (purchè la matrice associata sia associata alla base canonica) anche se ho inserito il vettore $(2, -2,2)$?
Ti inserisco un esempio...
Sia $f$ l'endomorfismo di $R^3$ che manda ogni punto $P$ di $R^3$ nella sua proiezione ortogonale sul piano
$\alpha$: $x+2y=0$.
Risultando $kerf= (t,-2t,0)$,
mi chiede di calcolar le controimmagini del vettore $(2, 1, 1)$
e mi inserisce come soluzione:
$f^(-1)(2,1,1)=(2,1,1)+t(1,-2,0)$.
La mia risposta a tal svolgimento è stato il ragionamento (purtroppo sbagliato) di sopra.
Cosa avrei dovuto comprendere allora?
Se avessi scritto $f^(-1)(2,-2,2)= (2,-2,2)+a(1/2,1,0)$ avrebbe avuto un senso?
Tutto questo quando avrei potuto tranquillamente scrivere: $2x+y-z=2$.
Grazie.
Ti inserisco un esempio...
Sia $f$ l'endomorfismo di $R^3$ che manda ogni punto $P$ di $R^3$ nella sua proiezione ortogonale sul piano
$\alpha$: $x+2y=0$.
Risultando $kerf= (t,-2t,0)$,
mi chiede di calcolar le controimmagini del vettore $(2, 1, 1)$
e mi inserisce come soluzione:
$f^(-1)(2,1,1)=(2,1,1)+t(1,-2,0)$.
La mia risposta a tal svolgimento è stato il ragionamento (purtroppo sbagliato) di sopra.
Cosa avrei dovuto comprendere allora?
Se avessi scritto $f^(-1)(2,-2,2)= (2,-2,2)+a(1/2,1,0)$ avrebbe avuto un senso?
Tutto questo quando avrei potuto tranquillamente scrivere: $2x+y-z=2$.
Grazie.
Perfetto. Quindi, nel momento in cui trovo le controimmagini, non devo far riferimento alle basi a cui ogni vettore è associato, bensì alle basi del $ker$?
Poi non mi è, scusa la mancanza di flessibilità cerebrale, chiara una cosa... il vincolo del vettore $(2,-2,2)$ nella baggianata scritta non significa nulla?
Grazie mille come sempre.
Poi non mi è, scusa la mancanza di flessibilità cerebrale, chiara una cosa... il vincolo del vettore $(2,-2,2)$ nella baggianata scritta non significa nulla?
Grazie mille come sempre.
"Sergio":
Il kernel è il sottoinsieme del dominio i cui elementi hanno come immagine il vettore nullo. Il kernel quindi non c'entra assolutamente nulla con le controimmagini di vettori non nulli.
Fin qui non ci son dubbi, il concetto teorico e pratico è chiaro.
"Sergio":
Il vettori non sono "associati" a nulla. Quella che è associata all'applicazione è una matrice.
Perdonami, mi sono espressa male. Anche questo concetto risulta chiaro.
Ciò che non ritorna ben limpido nelle mie conoscenze è la corrispondenza teorica di un simil modo di scrivere.
$[(x),(y),(z)]=[(1),(0),(0)]+a[(-1),(2),(0)]+b[(1),(0),(2)]$
Comprendo che:
_ il primo vettore è la controimmagine del vettore $(2,-2,2)$;
_ il secondo è la controimmagine del vettore $(0,0,0)$;
_ il terzo è la controimmagine del vettore $(0,0,0)$.
Ma perché devo far riferimento alle controimmagini del vettore nullo (nonché basi del $ker$)?
Ok, ora ci siam perfettamente. Era l'ultima nozione quella che mi mancava (dal momento che non sia fatta menzione di questa su nessuna pagina studiata). Per quanto riguarda la "scomposizione" attuata era solo un modo per cercar di farmi capire (perchè un simil modo scribendi, con quei vettori), è logico che la soluzione non potesse limitarsi ad una di quelle controimmagini, avendo, come precedentemente affermato, il sistema infinite soluzioni.
Grazie, grazie, grazie.
Grazie, grazie, grazie.
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