Base sottospazio
sia S sistema lineare omogeneo:{x1+x2+x3+2x4=0
{x1+x2-x3-2x4=0
trovare una base del Sottospazio E di R^4 formato dalle soluzioni di S.
P.S.
io ho fatto da pochi giorni l'esame di geometria e ho un dubbio su questo e latri due esercizi, siccome molto probabilmente all'orale potrebbero chiedermelo mi potreste dare una grossa mano nel mandarmi via questi dubbi ciao e grazie....
{x1+x2-x3-2x4=0
trovare una base del Sottospazio E di R^4 formato dalle soluzioni di S.
P.S.
io ho fatto da pochi giorni l'esame di geometria e ho un dubbio su questo e latri due esercizi, siccome molto probabilmente all'orale potrebbero chiedermelo mi potreste dare una grossa mano nel mandarmi via questi dubbi ciao e grazie....
Risposte
Fai vedere la tua soluzione o almeno l'inizio .
allora io so che per formare una base devono essere linearmente indipendenti e infatti facendo la loro combinazione lineare si nota che sono linearmente indipendenti . poi il passo successivo e di vedere L'equazione:
{x1+x2+x3+2x4=0
{x1+x2-x3-2x4=0
ho risolto il sistema e viene:
{x1=-x2-x3-2x4=0
{-x2+x2-x3-x3-2x4-2x4=0
poi:
{x3=-2x4
{x1=x4
in seguito ho posto la condizione x2=t e x4 =u e viene:
{x1=-t
{x2=t
{x3=-2u
{x4=u
quindi le basi del sottospazio sono (-1,1,0,0) e (0,0,-2,1)
è giusto?
ciao e grazie
{x1+x2+x3+2x4=0
{x1+x2-x3-2x4=0
ho risolto il sistema e viene:
{x1=-x2-x3-2x4=0
{-x2+x2-x3-x3-2x4-2x4=0
poi:
{x3=-2x4
{x1=x4
in seguito ho posto la condizione x2=t e x4 =u e viene:
{x1=-t
{x2=t
{x3=-2u
{x4=u
quindi le basi del sottospazio sono (-1,1,0,0) e (0,0,-2,1)
è giusto?
ciao e grazie
Si è giusta. Infatti consideriamo il sistema omogeneo
$ {(x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 =0), (x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4=0):} $. Riscriviamolo in termini di matrice
$ ((1,1,1,2,0), (1,1,-1,-2,0)) $ e adoperando l'alg di Gauss Jordan diventa $ ((1,1,1,2,0), (0,0,-2,-4,0)) $. Quindi
$ {(x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4=0), (x_3=-2x_4):}$ ossia $ {(x_1 =- x_2), (x_3=-2x_4):} $
Quindi
$ ((x_1), (x_2), (x_3), (x_4))=((-\alpha_1), (\alpha_1), (-2\alpha_2), (\alpha_2))=\alpha_1((-1), (1), (0), (0))+\alpha_2((0), (0), (-2), (1)) $, con $ \alpha_1, \alpha_2 in R $.
Quindi la base è data dai vettori $ v_1(-1,1,0,0) $ e $ v_2=(0,0,-2,1) $.
$ {(x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 =0), (x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4=0):} $. Riscriviamolo in termini di matrice
$ ((1,1,1,2,0), (1,1,-1,-2,0)) $ e adoperando l'alg di Gauss Jordan diventa $ ((1,1,1,2,0), (0,0,-2,-4,0)) $. Quindi
$ {(x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4=0), (x_3=-2x_4):}$ ossia $ {(x_1 =- x_2), (x_3=-2x_4):} $
Quindi
$ ((x_1), (x_2), (x_3), (x_4))=((-\alpha_1), (\alpha_1), (-2\alpha_2), (\alpha_2))=\alpha_1((-1), (1), (0), (0))+\alpha_2((0), (0), (-2), (1)) $, con $ \alpha_1, \alpha_2 in R $.
Quindi la base è data dai vettori $ v_1(-1,1,0,0) $ e $ v_2=(0,0,-2,1) $.
sempre su questo sistema lineare omogeneo se volessi trovare una base del sottospazio E^(al simbolo perpendicolare, forse si chiama complemento ortogonale)formato dai vettori di R^4 ortogonali a tutti i vettori di E
v1(-1,1,0,0) v2(0,0,-2,1)
E^_|_= v2*v1/v1*v1
potrebbe essere giusto? ciao e grazie
v1(-1,1,0,0) v2(0,0,-2,1)
E^_|_= v2*v1/v1*v1
potrebbe essere giusto? ciao e grazie
Procedimento di Gram-Schmidt ... si esatto soltanto che devi procedere in questa maniera. Poni
$ a_1=v_1=(-1,1,0,0)^(T) $
$ a_2=v_2 - ((v_2|a_1))/((a_1|a_1))*a_1=((0),(0), (-2), (1))-0/2*((-1),(1),(0),(0))=((0),(0), (-2), (1)) $.
Ora questi vettori $ a_1 $ e $a_2$ sono non nulli, ortogonali tra loro e generano il sottospazio che hai prima considerato ok?
$ a_1=v_1=(-1,1,0,0)^(T) $
$ a_2=v_2 - ((v_2|a_1))/((a_1|a_1))*a_1=((0),(0), (-2), (1))-0/2*((-1),(1),(0),(0))=((0),(0), (-2), (1)) $.
Ora questi vettori $ a_1 $ e $a_2$ sono non nulli, ortogonali tra loro e generano il sottospazio che hai prima considerato ok?
quindi in poche parole devo solo ortonormalizzare le due basi prima trovate!!! ah ok ok grazie mille senti ti posso chiedere un ultima cosa:
se devo detrminare i valori di t per i quali il vettore(1,t,2,t)^T appartiene a E come fare?
io ho pensato di mettere il vettore insieme alle due basi prima trovate ovvero:
(-1 1 0 0)
( 0 0 -2 1)
( 1 t 2 t)
e vedere per quali valori di t appartiene ad E!!!
ciao e grazie mille per tutto
se devo detrminare i valori di t per i quali il vettore(1,t,2,t)^T appartiene a E come fare?
io ho pensato di mettere il vettore insieme alle due basi prima trovate ovvero:
(-1 1 0 0)
( 0 0 -2 1)
( 1 t 2 t)
e vedere per quali valori di t appartiene ad E!!!
ciao e grazie mille per tutto
no fai attenzione, i vettori $ a_1 $ e $a_2$ sono ortogonali, non ortonormali, perchè se vuoi questi vettori formino una base ortonormale devi moltiplicarli per la loro norma ok?
sisisi hai ragione errore mio di disattenzione!!! ciao e grazie sei stato gentilissimo
prego
infine un ultima domanda di questo interminabile post!!!!
allora Determinare i valori di t per i quali il vettore(1,t,2,t)^T appartiene ad E:
con E formato da v1(-1,1,0,0) e v2(0,0,-2,1)!!!
metto il mio procedimento ho messo tutto in una matrice
(-1 1 0 0)
( 0 0 -2 1)
( 1 t 2 t)
ed ho calcolato il determinante trovandomi i valori di T in modo tale che appartengano a E!!!
potrebbe essere giusto??? ciao e grazie mille
allora Determinare i valori di t per i quali il vettore(1,t,2,t)^T appartiene ad E:
con E formato da v1(-1,1,0,0) e v2(0,0,-2,1)!!!
metto il mio procedimento ho messo tutto in una matrice
(-1 1 0 0)
( 0 0 -2 1)
( 1 t 2 t)
ed ho calcolato il determinante trovandomi i valori di T in modo tale che appartengano a E!!!
potrebbe essere giusto??? ciao e grazie mille
Di pende da cosa hai fatto esattamente , la matrice è rettangolare , che determinanti hai calcolato e poi cosa hai imposto ?
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