Base rispetto alla matrice associata
Ciao ragazzi, sto cercando di risolvere questo esercizio ma con scarsi risultati. Ma passiamo al dunque:
Sia $F$ l'endomorfismo di $R^3$ definito da $F(x,y,z) = (x+2y+z,2x+2z,x+2y+z)$
1) Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $F$ è $T=$ $((4,1,1),(0,0,1),(0,0,−2))$
2) Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $F$ è $Z=$ $((0,1,1),(1,4,1),(0,1,−2))$
1)Penso che non sia fattibile trovare tale base, in quanto il rango di $T=2$ quindi non può rappresentare F che è definito in $R^3$
2)Ora per cercare una soluzione ho pensato di utilizzare la relazione $M_B^B$ $=$ $M_B^E$ $(Id)$ $xx$ $M_E^E$ $(f)$ $xx$ $M_E^B$ $(Id)$
Ho calcolato $M_E^E$ $(f)$ disponendo in colonna i vettori immagine della base canonica attraverso $f$, quindi la matrice associata è : $A$ $=$ $((1,2,1),(2,0,2),(0,2,1))$
conosco $M_B^B$ = $((0,1,1),(1,4,1),(0,1,−2))$ data dall'esercizio.
Ma poi non so più come procedere
Sia $F$ l'endomorfismo di $R^3$ definito da $F(x,y,z) = (x+2y+z,2x+2z,x+2y+z)$
1) Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $F$ è $T=$ $((4,1,1),(0,0,1),(0,0,−2))$
2) Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $F$ è $Z=$ $((0,1,1),(1,4,1),(0,1,−2))$
1)Penso che non sia fattibile trovare tale base, in quanto il rango di $T=2$ quindi non può rappresentare F che è definito in $R^3$
2)Ora per cercare una soluzione ho pensato di utilizzare la relazione $M_B^B$ $=$ $M_B^E$ $(Id)$ $xx$ $M_E^E$ $(f)$ $xx$ $M_E^B$ $(Id)$
Ho calcolato $M_E^E$ $(f)$ disponendo in colonna i vettori immagine della base canonica attraverso $f$, quindi la matrice associata è : $A$ $=$ $((1,2,1),(2,0,2),(0,2,1))$
conosco $M_B^B$ = $((0,1,1),(1,4,1),(0,1,−2))$ data dall'esercizio.
Ma poi non so più come procedere
Risposte
Per quanto riguarda il primo punto, non basta determinare il rango della matrice $T$, ovvero, la dimensione dell'immagine. Tra l'altro, rispetto alla base naturale, $F$ è rappresentato dalla seguente matrice:
$A=((1,2,1),(2,0,2),(1,2,1))$
il cui rango è proprio $2$. Piuttosto, se la matrice $T$ rappresentasse l'endomorfismo rispetto a una particolare base, il primo vettore della medesima sarebbe, allo stesso tempo, un autovettore corrispondente a due autovalori diversi, proprietà che non può mai essere verificata. Tuttavia, poiché il rango di $Z$ è uguale a $3$, le considerazioni sulla dimensione dell'immagine possono essere utilizzate nel rispondere negativamente anche al secondo punto.
P.S.
Non si comprende per quale motivo tu abbia scritto:
$A=$ $((1,2,1),(2,0,2),(0,2,1))$
$A=((1,2,1),(2,0,2),(1,2,1))$
il cui rango è proprio $2$. Piuttosto, se la matrice $T$ rappresentasse l'endomorfismo rispetto a una particolare base, il primo vettore della medesima sarebbe, allo stesso tempo, un autovettore corrispondente a due autovalori diversi, proprietà che non può mai essere verificata. Tuttavia, poiché il rango di $Z$ è uguale a $3$, le considerazioni sulla dimensione dell'immagine possono essere utilizzate nel rispondere negativamente anche al secondo punto.
P.S.
Non si comprende per quale motivo tu abbia scritto:
$A=$ $((1,2,1),(2,0,2),(0,2,1))$
Intanto ti ringrazio, vediamo se ho capito:
quanto hai affermato sul punto 2) è giustificato dal fatto che la dimensione dell'immagine dell'endomorfismo rappresentato dalla matrice $Z$ è diversa dalla dimensione dell'immagine dell'endomorfismo $F$, quindi sono ovviamente due endomorfismi diversi.
Il punto 1) invece non mi è chiaro
La matrice $A$ è chiaramente sbagliata, ho commesso un errore di distrazione!
quanto hai affermato sul punto 2) è giustificato dal fatto che la dimensione dell'immagine dell'endomorfismo rappresentato dalla matrice $Z$ è diversa dalla dimensione dell'immagine dell'endomorfismo $F$, quindi sono ovviamente due endomorfismi diversi.
Il punto 1) invece non mi è chiaro
La matrice $A$ è chiaramente sbagliata, ho commesso un errore di distrazione!
La tua spiegazione del secondo punto è corretta. Per quanto riguarda il primo punto, mi sono semplicemente confuso. Insomma, ho scritto una clamorosa stupidaggine, grazie per avermelo fatto notare. A questo punto mi concedo una seconda opportunità, nella speranza di non deludere me stesso più di quanto sia umanamente sopportabile. 
Le due matrici:
$A=((1,2,1),(2,0,2),(1,2,1)) ^^ T=((4,1,1),(0,0,1),(0,0,−2))$
hanno gli stessi autovalori e sono entrambe diagonalizzabili. Ergo, esistono $2$ matrici $X$ e $Y$ tale che:
$[X^(-1)AX=Y^(-1)TY] rarr [YX^(-1)AXY^(-1)=T] rarr [(XY^(-1))^(-1)A(XY^(-1))=T]$
Insomma, poiché le due matrici $A$ e $T$ sono simili, la risposta è affermativa.
Le due matrici:
$A=((1,2,1),(2,0,2),(1,2,1)) ^^ T=((4,1,1),(0,0,1),(0,0,−2))$
hanno gli stessi autovalori e sono entrambe diagonalizzabili. Ergo, esistono $2$ matrici $X$ e $Y$ tale che:
$[X^(-1)AX=Y^(-1)TY] rarr [YX^(-1)AXY^(-1)=T] rarr [(XY^(-1))^(-1)A(XY^(-1))=T]$
Insomma, poiché le due matrici $A$ e $T$ sono simili, la risposta è affermativa.
Perfetto, ora mi è tutto chiaro!
Inoltre per curiosità come posso determinare la base rispetto alla quale viene rappresentato $F$ da $Z$?
Inoltre per curiosità come posso determinare la base rispetto alla quale viene rappresentato $F$ da $Z$?
Immagino intendessi da $T$. Ad ogni modo, gli autovalori e i relativi autovettori delle due matrici sono:
$A=((1,2,1),(2,0,2),(1,2,1))$
$[\lambda=-2] rarr [vecv=((\alpha_1),(-2\alpha_1),(\alpha_1))] ^^ [\lambda=0] rarr [vecv=((\alpha_2),(0),(-\alpha_2))] ^^ [\lambda=4] rarr [vecv=((\alpha_3),(\alpha_3),(\alpha_3))]$
$T=((4,1,1),(0,0,1),(0,0,−2))$
$[\lambda=-2] rarr [vecv=((\beta_1),(6\beta_1),(-12\beta_1))] ^^ [\lambda=0] rarr [vecv=((\beta_2),(-4\beta_2),(0))] ^^ [\lambda=4] rarr [vecv=((\beta_3),(0),(0))]$
Quindi:
$X=((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),(-2\alpha_1,0,\alpha_3),(\alpha_1,-\alpha_2,\alpha_3)) ^^ Y=((\beta_1,\beta_2,\beta_3),(6\beta_1,-4\beta_2,0),(-12\beta_1,0,0))$
Poichè:
$[X^(-1)AX=Y^(-1)TY] rarr [YX^(-1)AXY^(-1)=T] rarr [(XY^(-1))^(-1)A(XY^(-1))=T]$
le colonne della matrice:
$XY^(-1)=((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),(-2\alpha_1,0,\alpha_3),(\alpha_1,-\alpha_2,\alpha_3))((0,0,-1/(12\beta_1)),(0,-1/(4\beta_2),-1/(8\beta_2)),(1/\beta_3,1/(4\beta_3),5/(24\beta_3)))=((\alpha_3/\beta_3,-\alpha_2/(4\beta_2)+\alpha_3/(4\beta_3),-\alpha_1/(12\beta_1)-\alpha_2/(8\beta_2)+(5\alpha_3)/(24\beta_3)),(\alpha_3/\beta_3,\alpha_3/(4\beta_3),\alpha_1/(6\beta_1)+(5\alpha_3)/(24\beta_3)),(\alpha_3/\beta_3,\alpha_2/(4\beta_2)+\alpha_3/(4\beta_3),-\alpha_1/(12\beta_1)+\alpha_2/(8\beta_2)+(5\alpha_3)/(24\beta_3)))$
sono i vettori della base desiderata. Insomma, sono $oo^3$ le basi rispetto alle quali l'endomorfismo $F$ è rappresentato dalla matrice $T$.
$A=((1,2,1),(2,0,2),(1,2,1))$
$[\lambda=-2] rarr [vecv=((\alpha_1),(-2\alpha_1),(\alpha_1))] ^^ [\lambda=0] rarr [vecv=((\alpha_2),(0),(-\alpha_2))] ^^ [\lambda=4] rarr [vecv=((\alpha_3),(\alpha_3),(\alpha_3))]$
$T=((4,1,1),(0,0,1),(0,0,−2))$
$[\lambda=-2] rarr [vecv=((\beta_1),(6\beta_1),(-12\beta_1))] ^^ [\lambda=0] rarr [vecv=((\beta_2),(-4\beta_2),(0))] ^^ [\lambda=4] rarr [vecv=((\beta_3),(0),(0))]$
Quindi:
$X=((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),(-2\alpha_1,0,\alpha_3),(\alpha_1,-\alpha_2,\alpha_3)) ^^ Y=((\beta_1,\beta_2,\beta_3),(6\beta_1,-4\beta_2,0),(-12\beta_1,0,0))$
Poichè:
$[X^(-1)AX=Y^(-1)TY] rarr [YX^(-1)AXY^(-1)=T] rarr [(XY^(-1))^(-1)A(XY^(-1))=T]$
le colonne della matrice:
$XY^(-1)=((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),(-2\alpha_1,0,\alpha_3),(\alpha_1,-\alpha_2,\alpha_3))((0,0,-1/(12\beta_1)),(0,-1/(4\beta_2),-1/(8\beta_2)),(1/\beta_3,1/(4\beta_3),5/(24\beta_3)))=((\alpha_3/\beta_3,-\alpha_2/(4\beta_2)+\alpha_3/(4\beta_3),-\alpha_1/(12\beta_1)-\alpha_2/(8\beta_2)+(5\alpha_3)/(24\beta_3)),(\alpha_3/\beta_3,\alpha_3/(4\beta_3),\alpha_1/(6\beta_1)+(5\alpha_3)/(24\beta_3)),(\alpha_3/\beta_3,\alpha_2/(4\beta_2)+\alpha_3/(4\beta_3),-\alpha_1/(12\beta_1)+\alpha_2/(8\beta_2)+(5\alpha_3)/(24\beta_3)))$
sono i vettori della base desiderata. Insomma, sono $oo^3$ le basi rispetto alle quali l'endomorfismo $F$ è rappresentato dalla matrice $T$.
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