Base prodotto tensoriale
Ciao, amici! Sulla linea di alcune cose che recentemente ho chiesto in questa sezione vorrei porre una domanda su un argomento che trovo tuttavia interessante anche indipendentemente da altre considerazioni.
Se $V$ e $W$ sono $K$-spazi vettoriali di basi \(\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}\) e rispettivamente \(\{\mathbf{w}_1,...,\mathbf{w}_m\}\), ho tutta l'impressione che \(\{\mathbf{v}_1\otimes\mathbf{w}_1,...,\mathbf{v}_1\otimes\mathbf{w}_m,\mathbf{v}_2\otimes\mathbf{w}_1,...,\mathbf{v}_2\otimes\mathbf{w}_m,...,\mathbf{v}_n\otimes\mathbf{w}_1,...,\mathbf{v}_n\otimes\mathbf{w}_m\}\) sia una base di \(V\otimes_{K} W\)... giusto? Tuttavia non mi è chiaro come si possa dimostrare questa cosa e non ho trovato nulla in proposito né in rete né altrove.
Grazie di cuore a chi interverrà!
Se $V$ e $W$ sono $K$-spazi vettoriali di basi \(\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}\) e rispettivamente \(\{\mathbf{w}_1,...,\mathbf{w}_m\}\), ho tutta l'impressione che \(\{\mathbf{v}_1\otimes\mathbf{w}_1,...,\mathbf{v}_1\otimes\mathbf{w}_m,\mathbf{v}_2\otimes\mathbf{w}_1,...,\mathbf{v}_2\otimes\mathbf{w}_m,...,\mathbf{v}_n\otimes\mathbf{w}_1,...,\mathbf{v}_n\otimes\mathbf{w}_m\}\) sia una base di \(V\otimes_{K} W\)... giusto? Tuttavia non mi è chiaro come si possa dimostrare questa cosa e non ho trovato nulla in proposito né in rete né altrove.
Grazie di cuore a chi interverrà!
Risposte
Che quei vettori siano generatori e' ovvio:
$$ \textstyle v\otimes w = \big(\sum a_i v_i\big)\otimes\big(\sum b_j w_j\big) = \sum a_i b_j (v_i\otimes w_j)$$
Per quanto riguarda l'essere indipendenti, e' la solita schifezza del prodotto tensore, ma non credo sia difficile: supponi che $\sum h_{ij}v_i\otimes w_j=0$; allora usando le basi duali $v_i^*, w_j^*$ hai che
$$
id \otimes w_k^*\Big(\sum_{ij} h_{ij}v_i\otimes w_j\Big)=\sum_{ij} h_{ij}(id \otimes w_k^*)(v_i\otimes w_j) = \sum_{ij} h_{ij}\delta_{kj} v_i = \sum_{i} h_{ik}v_i=0
$$
cosa che ti dice che tutti gli $h_{ik}$ sono zero, perche' $v_i$ era una base. Non lo avevo mai fatto cosi', ma facendo il conto a mente mi e' venuta in questo modo. Dimmi se e' ragionevole.
$$ \textstyle v\otimes w = \big(\sum a_i v_i\big)\otimes\big(\sum b_j w_j\big) = \sum a_i b_j (v_i\otimes w_j)$$
Per quanto riguarda l'essere indipendenti, e' la solita schifezza del prodotto tensore, ma non credo sia difficile: supponi che $\sum h_{ij}v_i\otimes w_j=0$; allora usando le basi duali $v_i^*, w_j^*$ hai che
$$
id \otimes w_k^*\Big(\sum_{ij} h_{ij}v_i\otimes w_j\Big)=\sum_{ij} h_{ij}(id \otimes w_k^*)(v_i\otimes w_j) = \sum_{ij} h_{ij}\delta_{kj} v_i = \sum_{i} h_{ik}v_i=0
$$
cosa che ti dice che tutti gli $h_{ik}$ sono zero, perche' $v_i$ era una base. Non lo avevo mai fatto cosi', ma facendo il conto a mente mi e' venuta in questo modo. Dimmi se e' ragionevole.
...dove vedo che \(id\otimes w_k^{\ast}:V\otimes_{K}W\to V\otimes_{K}K\), e \(V\otimes_{K}K\) è $K$-isomorfo a $V$, rappresenta una tensorizzazione di \(w^{\ast}\).
Wow: bellissima dimostrazione!
Grazie di cuore!!!
Wow: bellissima dimostrazione!
Grazie di cuore!!!
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