Base per una topologia

[18Gigia18]

ciao. Ho un problema con questo esercizio perchè econdo me c'è un errore nella traccia. La traccia è:
Provare che B è base per una topologia su $ RR $ . B= { $ ] -oo , 1/n[ uu ]1/n , + oo [ n in NN -{0} $ } $ uu$ ${RR} $.
Perchè nell'insieme B c'è gia $ RR $ ? Non è un errore? Altrimenti sarebbe inutile provare che B è ricoprimento. Secondo al posto di $ RR $ andrebbe lo zero. Che ne dite?

[dissonance]

"zero"="insieme vuoto"? Comunque la risposta è no, secondo me la traccia è corretta. Pensa a cosa succederebbe se $RR$ non ci fosse.

[18Gigia18]

Effettivamente hai ragione. Allora come si fa a provare in maniera rigorosa che B è un ricoprimento di $ RR $ ? Data la presenza di $ RR $ già nell'insime non è ovvia la dimostrazione?

[dissonance]

E già, è proprio ovvio.

[18Gigia18]

come faccio a provare che la topologia individuata da tale base è meno fine della topologia naturale di $ RR $$ ?
bisogna verificare che $ ] - oo , -1/n [ uu ]1/n , + oo[ = uu ]a, b[ $ giusto? Però non riesco a verificare però questa inclusione $ supe $.

[dissonance]

Ma no. Una topologia $tau_1$ è "meno fine" di una topologia $tau_2$ quando $tau_1\subset tau_2$. Quindi lascia perdere l'inclusione $\supe$. Tieni presente che se $B_1$ è una base di $tau_1$ e $B_2$ è una base di $tau_2$, affinché la prima topologia sia meno fine della seconda è necessario e sufficiente che sia $B_1 \subset B_2$.

[Studente Anonimo]

"18Gigia18":ciao. Ho un problema con questo esercizio perchè econdo me c'è un errore nella traccia. La traccia è:
Provare che B è base per una topologia su $ RR $ . B= { $ ] -oo , 1/n[ uu ]1/n , + oo [ n in NN -{0} $ } $ uu$ ${RR} $.
Perchè nell'insieme B c'è gia $ RR $ ? Non è un errore? Altrimenti sarebbe inutile provare che B è ricoprimento. Secondo al posto di $ RR $ andrebbe lo zero. Che ne dite?

Per verificare che quella è una base di una topologia non basta verificare che ricopre $RR$. Bisogna mostrare che se prendi due di quegli aperti e un punto appartenente ad entrambi esiste un aperto di quella forma contenuto nell'intersezione e contenente il punto.

[dissonance]

Naturalmente sono d'accordo con Martino. Mi pareva fosse sottointeso che ci fossero da verificare altre proprietà di $B$ oltre a quella di ricoprire $RR$.