Base per una Topologia
Salve ragazzi, mi piacerebbe risolvere un dubbio, probabilmente molto stupido, che ho su un argomento di topologia.
Se ho una famiglia di elementi B, che so già rispettare le condizioni richieste affinché possa essere assunta come base per una certa topologia, gli aperti della topologia saranno unione degli elementi della base.
Ora, cosa accade se nella base assegno dei chiusi?
Esempio. Se sono in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) e considero una certa topologia A, con base la famiglia dei dischi chiusi di centro l'origine e raggio reale. Ciascun elemento della base è un aperto, ma sono per loro natura anche dei chiusi.
Quindi in questo caso gli aperti della topologia sono sia tutti i dischi chiusi, che i loro complementari?
E dal fatto che ciascun elemento della base risulterebbe contemporaneamente sia aperto che chiuso, segue che con tale topologia \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) non è connesso, giusto? Infine, posso da ciò generalizzare dicendo che ogni qual volta assegno come base per una topologia una famiglia in cui ci sono dei chiusi, la topologia risulterà non connessa?
Se ho una famiglia di elementi B, che so già rispettare le condizioni richieste affinché possa essere assunta come base per una certa topologia, gli aperti della topologia saranno unione degli elementi della base.
Ora, cosa accade se nella base assegno dei chiusi?
Esempio. Se sono in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) e considero una certa topologia A, con base la famiglia dei dischi chiusi di centro l'origine e raggio reale. Ciascun elemento della base è un aperto, ma sono per loro natura anche dei chiusi.
Quindi in questo caso gli aperti della topologia sono sia tutti i dischi chiusi, che i loro complementari?
E dal fatto che ciascun elemento della base risulterebbe contemporaneamente sia aperto che chiuso, segue che con tale topologia \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) non è connesso, giusto? Infine, posso da ciò generalizzare dicendo che ogni qual volta assegno come base per una topologia una famiglia in cui ci sono dei chiusi, la topologia risulterà non connessa?
Risposte
Che topologia è $\mathcal{A}= { A_i | A_i \in \mathbb{R}^2 \forall i \in \mathbb{N}}$?
Se è la topologia usuale o euclidea, quella che hai scritto tu non è una base per la topologia (i $B$ sono chiusi e una base lo è solo se è collezione di aperti).
Se invece definisci ad esempio $(\mathbb{R}^2,\mathcal{C})$ con $\mathcal{C}$ la topologia in cui gli aperti sono i dischi di centro l'origine e raggio in $\mathbb{N}$, allora quella è base, ma la tua domanda non ha senso.
Se è la topologia usuale o euclidea, quella che hai scritto tu non è una base per la topologia (i $B$ sono chiusi e una base lo è solo se è collezione di aperti).
Se invece definisci ad esempio $(\mathbb{R}^2,\mathcal{C})$ con $\mathcal{C}$ la topologia in cui gli aperti sono i dischi di centro l'origine e raggio in $\mathbb{N}$, allora quella è base, ma la tua domanda non ha senso.
Ma, allora, in nessun caso posso assegnare come base per una topologia di questo tipo dei dischi chiusi? Poichè la mia professoressa come esempio di esercizio ci fece proprio quello: lo studio di una topologia la cui base era costituita da quei dischi chiusi con centro l'origine.
Di fatti, parole sue, gli aperti della topologia risultavano essere i dischi aperti di centro l'origine (perchè ottenibili mediante unione di elementi della base) e il complementare di ogni disco chiuso di centro l'origine.
Di fatti, parole sue, gli aperti della topologia risultavano essere i dischi aperti di centro l'origine (perchè ottenibili mediante unione di elementi della base) e il complementare di ogni disco chiuso di centro l'origine.
Qualsiasi insieme di sottoinsiemi può essere usato per generare una topologia (che sia esso effettivamente una base o meno). Il fatto che questi insiemi siano chiusi o aperti in un'altra topologia poco importa (a meno che non ti interessino le mappe continue tra le due topologie). Nota che nell'esempio della professoressa \(\mathbb{R}\) è connesso.
"Mark11000":
Di fatti, parole sue, gli aperti della topologia risultavano essere i dischi aperti di centro l'origine (perchè ottenibili mediante unione di elementi della base) e il complementare di ogni disco chiuso di centro l'origine.
Questa è la topologia euclidea. Per questa topologia, quella dei dischi chiusi non è una base.
Se invece definisci una topologia per cui gli aperti siano $A_a={x \in \mathbb{R}^2 | ||x-a|| \leq r}$ per $r \in \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}^2$, hai definito una topologia diversa da quella euclidea, per cui i dischi (che adesso però non sono chiusi, ma sono aperti) sono base.
Spero questo risponda alla domanda...
Grazie mille ragazzi, gentilissimi 
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