Base per ImF (x favore aiuto!!!)
Salve a tutti.
Vorrei porre la seguente domanda.
Ho un'applicazione lineare di cui ho calcolato la matrice associata A.
Per calcolare una base di Imf so che è sufficiente prendere n colonne linearmente indipendenti di A (con n=dim Imf)
Se ha ha m colonne linearmente indipendenti, sono tutte da prendere come base di Imf? Ossia il numero di colonne linearmente indipendenti di A mi dà la dimensione di Imf.
Inoltre so che è possibile calcolare Base di Imf prendendo n righe linearmente indipendenti di una forma a gradici di A trasposta.
Qualcuno sa illustrarmi meglio questo procedimento?
Grazie a tutti
Davide
Vorrei porre la seguente domanda.
Ho un'applicazione lineare di cui ho calcolato la matrice associata A.
Per calcolare una base di Imf so che è sufficiente prendere n colonne linearmente indipendenti di A (con n=dim Imf)
Se ha ha m colonne linearmente indipendenti, sono tutte da prendere come base di Imf? Ossia il numero di colonne linearmente indipendenti di A mi dà la dimensione di Imf.
Inoltre so che è possibile calcolare Base di Imf prendendo n righe linearmente indipendenti di una forma a gradici di A trasposta.
Qualcuno sa illustrarmi meglio questo procedimento?
Grazie a tutti
Davide
Risposte
Consideriamo una matrice \(\displaystyle A \epsilon M(m,n,K)\) e spazi di vettori numerici \(\displaystyle M(n,1,K), M(m,1,K) \):
\(\displaystyle f_A : x \epsilon M(n,1,K) \longrightarrow A*x \epsilon M(m,1,K) \) è un' applicazione lineare.
Consideriamo una applicazione lineare \(\displaystyle f: M(n,1,K) \longrightarrow M(m,1,K) \).
Esiste una ed una sola matrice (matrice associata all' applicazione lineare \(\displaystyle f \)), indicata con \(\displaystyle M(f) \), tale che \(\displaystyle f = f_A \)
Abbiamo infatti \(\displaystyle f_A = f \) per UNA SOLA matrice \(\displaystyle A \),
essendo ciascuna colonna \(\displaystyle a^i \)di \(\displaystyle A \) correlata a ciascun vettore della base canonica di \(\displaystyle K^n\) secondo
\(\displaystyle f_A(e^i) = a^i \).
Dovendo coincidere, \(\displaystyle f_A \) e \(\displaystyle f \) sui vettori della base canonica di \(\displaystyle K^n \),
abbiamo \(\displaystyle f_A (e^i) = a^i = f(e^i) \),
donde, \(\displaystyle M(f) = A \)
Infine \(\displaystyle dim Im(f_A) = dim \langle f_A(e^1), ..., f_A(e^n) \rangle = dim \langle a^1,..., a^n \rangle = dim Spazio Colonne di A = dim Spazio Righe di A^t = dim Spazio Righe di A = rg A \)
\(\displaystyle f_A : x \epsilon M(n,1,K) \longrightarrow A*x \epsilon M(m,1,K) \) è un' applicazione lineare.
Consideriamo una applicazione lineare \(\displaystyle f: M(n,1,K) \longrightarrow M(m,1,K) \).
Esiste una ed una sola matrice (matrice associata all' applicazione lineare \(\displaystyle f \)), indicata con \(\displaystyle M(f) \), tale che \(\displaystyle f = f_A \)
Abbiamo infatti \(\displaystyle f_A = f \) per UNA SOLA matrice \(\displaystyle A \),
essendo ciascuna colonna \(\displaystyle a^i \)di \(\displaystyle A \) correlata a ciascun vettore della base canonica di \(\displaystyle K^n\) secondo
\(\displaystyle f_A(e^i) = a^i \).
Dovendo coincidere, \(\displaystyle f_A \) e \(\displaystyle f \) sui vettori della base canonica di \(\displaystyle K^n \),
abbiamo \(\displaystyle f_A (e^i) = a^i = f(e^i) \),
donde, \(\displaystyle M(f) = A \)
Infine \(\displaystyle dim Im(f_A) = dim \langle f_A(e^1), ..., f_A(e^n) \rangle = dim \langle a^1,..., a^n \rangle = dim Spazio Colonne di A = dim Spazio Righe di A^t = dim Spazio Righe di A = rg A \)
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