Base per il nucleo dell'applicazione lineare.

[erBUDDA92]

Salve a tutti, ho un problema nella parte finale di questo esercizio:
Trovare una base per il nucleo dell'applicazione lineare f:$R^2$ --> $R^2$ tale che $f((1, -1)) = (3, -1)$ e $f((0, 1)) = (-2, 2/3)$
Io ho proceduto in questo modo, andando a vedere i vettori della base canonica di $R^2$ :

$f((0, 1)) = (-2, 2/3)$
$f((1, 0)) = f(1, -1) + f(0,1) = (3, -1) + (-2, 2/3) = (1, -1/3)$

Prendo questi due vettori e creo la matrice 2x2 :
$((-2,2/3),(1,-1/3))$

Che ha determinante = 0 e rango = 1 ora però non sò come procedere... come trovo la base per il nucleo dell'applicazione?

grazie

[orazioster]

Per definizione di nucleo:

$((-2,2/3),(1,-1/3))((x_1),(x_2))=((0),(0))$

E risolvi il sitema omogeneo!

[erBUDDA92]

Quindi verrebbe:
$\{(-2x+2/3y = 0), (x-1/3y =0):}$ $\{(-2x+2/3y = 0), (x=1/3y):}$ $\{(-2/3y +2/3y =0), (x=1/3y):}$ $\{(0=0), (x=1/3y):}$

quindi: $\(1/3y, y)$ e prendendo y=3 la base verrebbe $\(1, 3)$ ... però il risultato non torna non sò che fare...

[orazioster]

problema risolto: i due vettori
devono essere le colonne e non le righe della matrice associata all'applicazione lineare.

Quindi una base del nucleo è $(2,1)$.

[erBUDDA92]

purtroppo continuo a non capire
Non capisco da dove viene la base (2,1) ... se proviene dalla prima colonna della matrice: $((-2,2/3),(1,-1/3))$ Perchè il segno è diverso? e se la soluzione è questa perchè allora bisogna fare il sistema?

Grazie, scusami se non afferro subito i concetti ma per queste cose sono duro di comprendonio...

[orazioster]

perchè la matrice non è quella, ma $((-2,1),(2/3,-1/3))$ : le immagini
dei vettori della base sono le colonne, e non le righe della matrice associata (in quella base) ad una applicazione lineare.

QUesto è certo!
poi, chiedo scusa , ho sbagliato io il conto: il risultato
è $2x=y$, perciò una base è $(1,2)$

[erBUDDA92]

Grande! ora ho capito grazie mille per l'aiuto, sei stato gentilissimo!