Base Ortonormale rispetto a un Prodotto Scalare

[escher576]

Ciao a tutti! Ho a che fare con il seguente esercizio diviso in due punti:

In $R^4$ si considderi la forma bilineare $ b: R^4 xx R^4 rarr R $ definita da:
$ b((x_1, x_2, x_3, x_4)^t,(y_1, y_2, y_3, y_4)^t) = 2x_1y_1 + x_2y_2 + 2x_3y_3 + x_3y_4 + x_4y_3 +x_4y_4 $
e il sottospazio: $ S = {(x_1, x_2, x_3, x_4)^t|x_1=x_2, x_3=x_4} $

1) Si dimostri che b è un prodotto scalare definito positivo;
2) nello spazio euclideo $(R^4,b)$, si determini una base ortonormale per S;

Di seguito posto la risoluzione:

1) scrivo la matrice associata alla forma bilineare $b$

$ ( ( 2 , 0 , 0, 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0, 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 2 ) ) $

essa è simmetrica; ora calcolo i suoi autovalori
calcolo la matrice $ A-lambda I$:

$ A-lambda I = ( ( 2-lambda , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2-lambda , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 2-lambda ) ) $

calcolo il determinante che vale:
$ det (A-lambda I ) = (2-lambda)^3 (1-lambda) $

gli autovalori sono 1 (con molteplicità algebrica 1) e 2 (con molteplicità algebrica 3); sono entrambi positivi quindi posso concludere che $b$ è un prodotto scalare definito positivo

2) qui partono i problemi perché so come si ottiene una base ortonormale (ortogonalizzandoli tramite Gram-Schmidt e normalizzandoli dividendoli per la loro norma), ma non so come riscrivere il prodotto scalare per il sottospazio $S$ (ossia il passaggio precedente)

[cooper1]

non devi riscrivere il prodotto scalare rispetto a quel sottospazio. tu sai che il prodotto scalare tra due vettori (di qualsiasi forma) è di quel tipo lì, devi cioè moltiplicare le componenti dei due vettori di $S$ nel modo indicato. l'unica cosa è che i vettori di $S$ hanno componenti a due a due uguali.

[Shocker1]

Occhio che hai sbagliato il polinomio caratteristico, è $(1-\lambda)^2(2-\lambda)(3-\lambda)$

[escher576]

Hai perfettamente ragione Shocker! Il determinante della matrice 4x4 è:
$(1-lambda)(2-lambda)(lambda^2-4lambda+3) rarr (1-lambda)^2(2-lambda)(lambda-3)$
gli autovalori sono tutti positivi quindi $b$ è un prodotto scalare definito positivo

[escher576]

cooper ipotizzo la seguente risoluzione:

Una base del sottospazio $S$ è ${(1,1,0,0),(0,0,1,1)}$

ora utilizzo il metodo di Gram-Schmidt per estrarre una base ortogonale:

$u_1 = e_1 = (1,1,0,0)$

$u_2 = e_2 - (b(e_2,u_1))/(b(u_1,u_1)) = e_2 = (0,0,1,1)$

perché
$b(u_1,u_1) = 6$
$b(e_2,u_1) = 0$

normalizzo $u_1$ e $u_2$ e ottengo la base ortonormale:

${(1/sqrt(2),1/sqrt(2),0,0),(0,0,1/sqrt(2),1/sqrt(2))}$

spero sia corretto

[cooper1]

[escher576]

Perfetto!! Grazie dell'aiuto