Base ortonormale per un sottospazio e per il suo ortogonale.
Ciao a tutti ! ho difficoltà con questo esercizio di geometria 2.
Dato il sottoinsieme
$ W = ( ( x,y,z) in R3: x - 2 y + z = 2x - y - z =0 ) $
determinare una base ortonormale di W $ ⊕ $ $ W^_|_ $
Sto trovare una base di W, ma non so come determinare il sottospazio ortogonale.
Poi come faccio a considerare la somma diretta?
Purtroppo non ho trovato informazioni sul libro riguardo a questa tipologia di esercizi
Mi aiutate per favore ?
Dato il sottoinsieme
$ W = ( ( x,y,z) in R3: x - 2 y + z = 2x - y - z =0 ) $
determinare una base ortonormale di W $ ⊕ $ $ W^_|_ $
Sto trovare una base di W, ma non so come determinare il sottospazio ortogonale.
Poi come faccio a considerare la somma diretta?
Purtroppo non ho trovato informazioni sul libro riguardo a questa tipologia di esercizi
Mi aiutate per favore ?
Risposte
Basta imporre l'annullamento del prodotto scalare
\[ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \]
dove \( \mathbf{w} \in W \) e \( \mathbf{v} \in V = W \oplus W^{\perp} \). I vettori \( \mathbf{v} \) che soddisfano tale annullamento sono gli elementi di \( W^{\perp} \).
\[ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \]
dove \( \mathbf{w} \in W \) e \( \mathbf{v} \in V = W \oplus W^{\perp} \). I vettori \( \mathbf{v} \) che soddisfano tale annullamento sono gli elementi di \( W^{\perp} \).
Grazie, una domanda. Sto risolvendo l'esercizio. Per trovare una base di W basta considerare una delle due equazioni
oppure devo considerarle entrambe???
Considero la prima
x= 2 y - z -----> gli elementi di W sono del tipo (2y-z,y,z) con y,z reali. Quindi W = < ( 2,1,0), (-1,0,1) >
oppure devo considerarle entrambe???
Considero la prima
x= 2 y - z -----> gli elementi di W sono del tipo (2y-z,y,z) con y,z reali. Quindi W = < ( 2,1,0), (-1,0,1) >
Vanno considerate entrambe (infatti se provi a sostituire le componenti che hai trovato in entrambe le equazioni non hai un'identità).
Allora posto il procedimento che ho seguito. Ho risolto il sistema
\( \begin{cases} x-2y+z=0 \\ 2x-y-z=0 \end{cases} \)
che fornisce soluzioni del tipo (z,z,z) con z reale. Quindi ho detto che $ W = <( 1,1,1) > $
Poi ho preso un generico vettore (x,y,z) e ho imposto la condizione di ortogonalità
(1,1,1) . (x,y,z) = ( 0,0,0)
che mi porta all'equazione $ x+y+z=0 $. Quindi
\( W^\perp \) = ( ( -y-z, y, z) : y, z \( \in \) R ) = < ( -1,1,0), (-1,0,1) >.
A questo punto come determino chi è la somma diretta?
Calcolando il rango della matrice che ha per colonna i generatori di $ W $ e \( W^\perp \)
\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
viene 3. quindi posso concludere che i due spazi sono in somma diretta e la loro intersezione è vuota.
A questo punto da qui, posso concludere che generano tutto R3 ???????? E quindi un base ortonormale
sarebbe data da $ (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) $ ???
\( \begin{cases} x-2y+z=0 \\ 2x-y-z=0 \end{cases} \)
che fornisce soluzioni del tipo (z,z,z) con z reale. Quindi ho detto che $ W = <( 1,1,1) > $
Poi ho preso un generico vettore (x,y,z) e ho imposto la condizione di ortogonalità
(1,1,1) . (x,y,z) = ( 0,0,0)
che mi porta all'equazione $ x+y+z=0 $. Quindi
\( W^\perp \) = ( ( -y-z, y, z) : y, z \( \in \) R ) = < ( -1,1,0), (-1,0,1) >.
A questo punto come determino chi è la somma diretta?
Calcolando il rango della matrice che ha per colonna i generatori di $ W $ e \( W^\perp \)
\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
viene 3. quindi posso concludere che i due spazi sono in somma diretta e la loro intersezione è vuota.
A questo punto da qui, posso concludere che generano tutto R3 ???????? E quindi un base ortonormale
sarebbe data da $ (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) $ ???
"Marthy_92":
Allora posto il procedimento che ho seguito. Ho risolto il sistema
\( \begin{cases} x-2y+z=0 \\ 2x-y-z=0 \end{cases} \)
che fornisce soluzioni del tipo (z,z,z) con z reale. Quindi ho detto che $ W = <( 1,1,1) > $
Poi ho preso un generico vettore (x,y,z) e ho imposto la condizione di ortogonalità
(1,1,1) . (x,y,z) = ( 0,0,0)
che mi porta all'equazione $ x+y+z=0 $. Quindi
\( W^\perp \) = ( ( -y-z, y, z) : y, z \( \in \) R ) = < ( -1,1,0), (-1,0,1) >.
A questo punto come determino chi è la somma diretta?
Calcolando il rango della matrice che ha per colonna i generatori di $ W $ e \( W^\perp \)
\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
viene 3. quindi posso concludere che i due spazi sono in somma diretta e la loro intersezione è vuota.
Fin qua, tutto bene.
"Marthy_92":
A questo punto da qui, posso concludere che generano tutto R3 ????????
Sì perché \( W + W^{\perp} \) è un sottospazio di \( \mathbb{R}^3 \) e la sua dimensione è \( 3 \), quindi coincide con \( \mathbb{R}^3 \).
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