Base ortonormale e somma diretta
Salve gente!
Ho dei dubbi riguardo un paio di esercizi di algebra.
Il primo esercizio mi chiede di trovare una base ortonormale per lo spazio $ V=span{(0,2,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,1,2)} $ ora, la base ortonormale si trova utilizzando Gram-Schimdt, ma prima devo estrarre una base dallo span?
L'altro esercizio invece mi chiede se lo spazio vettoriale $ V=span{(0,1,1),(1,1,0),(0,1,0)} $ è somma diretta dei sottospazi $ V1=span{(1,1,0)} $ e $ V2=span{(0,1,0),(0,0,1)} $ allora, so che uno spazio vettoriale è somma diretta di due sottospazi se:
$ V=V1+V2 $ e $ V1nnV2={0} $ io ho trovato il determinante della matrice avente per colonne i vettori di V1 e V2 e mi esce uguale ad 1, dunque il rango è massimo. Per la formula di Grassman se $ dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2) $ allora $ dim(V1nnV2)={0} $ dunque la seconda condizione dovrebbe essere soddisfatta, ma non so come procedere per la prima. Un aiutino?
Grazie in anticipo
Ho dei dubbi riguardo un paio di esercizi di algebra.
Il primo esercizio mi chiede di trovare una base ortonormale per lo spazio $ V=span{(0,2,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,1,2)} $ ora, la base ortonormale si trova utilizzando Gram-Schimdt, ma prima devo estrarre una base dallo span?
L'altro esercizio invece mi chiede se lo spazio vettoriale $ V=span{(0,1,1),(1,1,0),(0,1,0)} $ è somma diretta dei sottospazi $ V1=span{(1,1,0)} $ e $ V2=span{(0,1,0),(0,0,1)} $ allora, so che uno spazio vettoriale è somma diretta di due sottospazi se:
$ V=V1+V2 $ e $ V1nnV2={0} $ io ho trovato il determinante della matrice avente per colonne i vettori di V1 e V2 e mi esce uguale ad 1, dunque il rango è massimo. Per la formula di Grassman se $ dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2) $ allora $ dim(V1nnV2)={0} $ dunque la seconda condizione dovrebbe essere soddisfatta, ma non so come procedere per la prima. Un aiutino?
Grazie in anticipo
Risposte
"FrancescoSergi":
Salve gente!
prima devo estrarre una base dallo span?
certamente. con l'ortogonalizzazione di gram-Schmidt tu non fai altro che ortogonalizzare tra loro i vettori di una base. per cui è necessario avere la base.
penso tu abbia scritto male $V$. non so perchè tu abbia calcolato il rango, già sappiamo che quello è uno $span$. detto questo l'intersezione lo si vede ad occhio che è nulla, poi osservi che effettivamente $V=V_1 + V_2$ e concludi.
io farei così.
Grazie per la risposta! Comunque no, non ho scritto male V, quindi credo non sia somma diretta dei due sottospazi. Un ultima domanda, dopo aver scritto una matrice associata ad un'applicazione lineare ed aver trovato la diagonalizzante, per trovare la matrice diagonalizzante unitaria è sufficiente dividere gli autovettori che compongono la matrice per la propria norma? E poi, perchè la matrice diagonalizzante unitaria esista, la matrice associata all'applicazione lineare deve essere Hermitiana?
di matrice diagonalizzante unitaria non avevo mai sentito parlare. ti rimando ad una discussione di qualche ora fa proprio riguardo questo tema! se dovessi avere dubbi puoipostare lì o aprire un nuovo topic 
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