Base ortonormale e rappresentazione di vettore

[freddofede]

Data una base ortonormale $v_{1}, v_{2},\ldots,v_{k}$, un vettore $z$ dello spazio si può rappresentare come $\sum_{i=1}^{k+1}v_{i}v_{i}^{T}z$? Perché?

[freddofede]

Scusate, fate conto che non abbia scritto nulla .

[ciampax]

Mmmmmmmm, io te lo scrivo in un modo un po' diverso, poi cerchiamo di capirci sulla tua notazione. Una base ortonormale è tale che

$ =0$ se $i\ne j$
$ =1$

dove $< , >$ indica il prodotto scalare. Ora, se $v_i$ è una base sai pure che $z=\sum_{i=1}^k z_i v_i$ dove $z_i$ sono le componenti di $z$. Ne segue che

$ = <\sum_{i=1}^k z_i v_i, v_j> =\sum_{i=1}^k z_i =z_j$

e quindi

$\sum_{i=1}^k v_i$.

Ora, quello che io ho scritto come $$ tu lo indichi con $v_i^T z$, utilizzando la definizione di prodotto righe per colonne per il prodotto scalare. Tutto chiaro?