Base ortonormale di autovettori.
Ciao ragazzi, qualcuno mi aiuta con questo esercizio?
Sia $(V,<,>)$ uno spazio vettoriale euclideo reale e sia $B={b_1, b_2, b_3}$ una base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio $S$ di $V$ generato dal vettore $b_1-b_2$.
1) Determinare una base ortonormale di $S^_|_ $
2) Sia $F:V rarr V$ un endomorfismo simmetrico tale che sia $ Ker (F)=S$ e $F^2=2F$. Determinare una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $F$.
Per il punto 1 si dovrebbe risolvere in questo modo:
Per riduzione si ha rispetto alla base $B$
$ v=b_1-b_2 rArr [V]_B=(1 \ \ -1 \ \ 0) rArr dimS=1 rArr B_S={( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )} $
Tramite G-S cerco una base ortonormale di $S^_|_ $ rispetto al prodotto scalare standard:
$ u=1/sqrt (<( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) | ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )>)( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )= $
$ u=( ( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ),( 0 ) ) rArr B_(S^_|_)={( ( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ),( 0 ) )} $
Per il punto 2 come si deve procedere???
Grazie a chi mi aiuta!
Sia $(V,<,>)$ uno spazio vettoriale euclideo reale e sia $B={b_1, b_2, b_3}$ una base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio $S$ di $V$ generato dal vettore $b_1-b_2$.
1) Determinare una base ortonormale di $S^_|_ $
2) Sia $F:V rarr V$ un endomorfismo simmetrico tale che sia $ Ker (F)=S$ e $F^2=2F$. Determinare una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $F$.
Per il punto 1 si dovrebbe risolvere in questo modo:
Per riduzione si ha rispetto alla base $B$
$ v=b_1-b_2 rArr [V]_B=(1 \ \ -1 \ \ 0) rArr dimS=1 rArr B_S={( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )} $
Tramite G-S cerco una base ortonormale di $S^_|_ $ rispetto al prodotto scalare standard:
$ u=1/sqrt (<( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) | ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )>)( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )= $
$ u=( ( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ),( 0 ) ) rArr B_(S^_|_)={( ( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ),( 0 ) )} $
Per il punto 2 come si deve procedere???
Grazie a chi mi aiuta!
Risposte
Proprio nessuno??? 
Gli autovalori dell'endomorfismo simmetrico soddisfano la seguente equazione:
$[\lambda^2-2\lambda=0] rarr [\lambda=0] vv [\lambda=2]$
Quindi, il sottospazio di dimensione $1$ generato da $[b_1-b_2]$ è l'autospazio associato all'autovalore $[\lambda=0]$, mentre il suo complemento ortogonale è l'autospazio di dimensione $2$ associato all'autovalore $[\lambda=2]$.
$[\lambda^2-2\lambda=0] rarr [\lambda=0] vv [\lambda=2]$
Quindi, il sottospazio di dimensione $1$ generato da $[b_1-b_2]$ è l'autospazio associato all'autovalore $[\lambda=0]$, mentre il suo complemento ortogonale è l'autospazio di dimensione $2$ associato all'autovalore $[\lambda=2]$.
Il punto 1 è sicuramente sbagliato. Il complemento ortogonale di S deve avere dimensione 2.
Boh... questo esercizio mi lascia senza idee...
Giungi a questa conclusione partendo dal fatto che $ F^2=2F$ giusto?
Autovettori relativi ad autovalori differenti sono ortogonali tra loro. Ma non potrebbe valere anche il contrario, cioè autospazio associato a $lambda=2$ e complemento associato a $lambda=0$?
Quindi dovrei trovare gli autovettori relativi a $lambda=2$, ma come posso trovare prima la matrice associata a $F$?
Perchè dovrebbe avere dimensione 2?
"anonymous_0b37e9":
Gli autovalori dell'endomorfismo simmetrico soddisfano la seguente equazione:
$ [\lambda^2-2\lambda=0] rarr [\lambda=0] vv [\lambda=2] $
Giungi a questa conclusione partendo dal fatto che $ F^2=2F$ giusto?
"anonymous_0b37e9":
Quindi, il sottospazio di dimensione $ 1 $ generato da $ [b_1-b_2] $ è l'autospazio associato all'autovalore $ [\lambda=0] $, mentre il suo complemento ortogonale è l'autospazio di dimensione $ 2 $ associato all'autovalore $ [\lambda=2] $.
Autovettori relativi ad autovalori differenti sono ortogonali tra loro. Ma non potrebbe valere anche il contrario, cioè autospazio associato a $lambda=2$ e complemento associato a $lambda=0$?
Quindi dovrei trovare gli autovettori relativi a $lambda=2$, ma come posso trovare prima la matrice associata a $F$?
"dissonance":
Il punto 1 è sicuramente sbagliato. Il complemento ortogonale di S deve avere dimensione 2.
Perchè dovrebbe avere dimensione 2?
"BRN":
Giungi a questa conclusione partendo dal fatto che $F^2=2F$ giusto?
Giusto.
"BRN":
Autovettori relativi ad autovalori differenti sono ortogonali tra loro. Ma non potrebbe valere anche il contrario, cioè autospazio associato a $lambda=2$ e complemento associato a $lambda=0$?
Poiché il testo dice che il sottospazio di dimensione $1$ generato da $[b_1-b_2]$ è il nucleo dell'endomorfismo simmetrico, esso deve essere l'autospazio associato all'autovalore $[\lambda=0]$. Ne consegue che il suo complemento ortogonale deve essere l'autospazio di dimensione $2$ associato all'autovalore $[\lambda=2]$.
"BRN":
... ma come posso trovare prima la matrice associata a $F$?
Dopo aver determinato una base ortonormale, la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla stessa è diagonale. Se, viceversa, si vuole determinare la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base naturale, è necessario un cambiamento di base. Tuttavia, non mi sembra che il testo chieda esplicitamente né l'una, né l'altra. Infatti, la determinazione delle due matrici non è assolutamente necessaria per risolvere il problema. Anzi, solo dopo aver seguito il procedimento di cui sopra è possibile determinare le due matrici che rappresentano l'endomorfismo rispetto a una base spettrale e alla base naturale.
Scusa il ritardo nella risposta, ma in questi giorni ho avuto l'influenza...
Rimango un po' spiazzato. L'unico modo che conosco per determinare degli autovettori è quello di studiare il sistema ponendo $(A-lambda I)=0$ con $A$ matrice associata all'endomorfismo e $lambda$ autovalore relativo all'autovettore cercato.
Praticamente mi stai dicendo che esiste una via alternativa per fare tutto ciò senza passare per $A$? E in che modo?
"anonymous_0b37e9":
Infatti, la determinazione delle due matrici non è assolutamente necessaria per risolvere il problema.
Rimango un po' spiazzato. L'unico modo che conosco per determinare degli autovettori è quello di studiare il sistema ponendo $(A-lambda I)=0$ con $A$ matrice associata all'endomorfismo e $lambda$ autovalore relativo all'autovettore cercato.
Praticamente mi stai dicendo che esiste una via alternativa per fare tutto ciò senza passare per $A$? E in che modo?
"BRN":
L'unico modo che conosco per determinare degli autovettori è quello di studiare il sistema ponendo $(A-lambda I)=0$ con $A$ matrice associata all'endomorfismo e $lambda$ autovalore relativo all'autovettore cercato.
Ma devi conoscere $A$, cioè, come agisce l'endomorfismo su un generico vettore.
"BRN":
Praticamente mi stai dicendo che esiste una via alternativa per fare tutto ciò senza passare per $A$? E in che modo?
Dopo aver determinato gli autovalori e gli autovettori utilizzando le informazioni del testo, si riesce a determinare anche $A$, cioè, come agisce l'endomorfismo su un generico vettore.
Per il momento correggo il primo punto.
cerco un vettore $ vin S^(_|_) $ ortogonale a $S$ rispetto al prodotto scalare canonico
$ ( 1 \ \ - 1 \ \ 0 ) ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0), (0), ( 0)) $
$ rArr { ( x-y=0 ),( y=a ),( z=b ):} rArr { ( x=a ),( y=a ),( z=b ):} $
$ rArr ((x), (y), (z)) = a ((1), (1), (0)) + b ((0), (0), (1)) $
Quindi
$ B_(S^(_|_) ) = {((1), (1), (0));((0), (0), (1))} $
Ma se mi dici che non serve $A$ per risolvere il secondo punto, allora non la cerco nemmeno. Mi serve capire come risalire agli autovettori partendo dai dati del testo e senza passare dalla matrice rappresentativa.
cerco un vettore $ vin S^(_|_) $ ortogonale a $S$ rispetto al prodotto scalare canonico
$ ( 1 \ \ - 1 \ \ 0 ) ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0), (0), ( 0)) $
$ rArr { ( x-y=0 ),( y=a ),( z=b ):} rArr { ( x=a ),( y=a ),( z=b ):} $
$ rArr ((x), (y), (z)) = a ((1), (1), (0)) + b ((0), (0), (1)) $
Quindi
$ B_(S^(_|_) ) = {((1), (1), (0));((0), (0), (1))} $
"anonymous_0b37e9":
Dopo aver determinato gli autovalori e gli autovettori utilizzando le informazioni del testo, si riesce a determinare anche $ A $, cioè, come agisce l'endomorfismo su un generico vettore.
Ma se mi dici che non serve $A$ per risolvere il secondo punto, allora non la cerco nemmeno. Mi serve capire come risalire agli autovettori partendo dai dati del testo e senza passare dalla matrice rappresentativa.
"BRN":
Mi serve capire come risalire agli autovettori partendo dai dati del testo e senza passare dalla matrice rappresentativa
L'avevo scritto sinteticamente in un messaggio precedente:
"anonymous_0b37e9":
Poiché il testo dice che il sottospazio di dimensione $1$ generato da $[b_1-b_2]$ è il nucleo dell'endomorfismo simmetrico, esso deve essere l'autospazio associato all'autovalore $[\lambda=0]$. Ne consegue che il suo complemento ortogonale deve essere l'autospazio di dimensione $2$ associato all'autovalore $[\lambda=2]$.
Se non è sufficiente, dovresti chiarire meglio i tuoi dubbi.
A sto punto, non ho dei dubbi, ma lacune.
la condizione $F^2=2F$ mi fornisce gli autovalori, $ker(F)=S$ mi fornisce l'autospazio relativo a $lambda=0$ e a me serve l'autospazio relativo a $lambda=2$.
Ora, autovettori relativi ad autovalori differenti sono ortogonali tra loro. Allora mi basterebbe trovare due vettori ortogonali a $(1, -1, 0)$ ma andrei a ripetere quanto ho fatto per il punto 1...
la condizione $F^2=2F$ mi fornisce gli autovalori, $ker(F)=S$ mi fornisce l'autospazio relativo a $lambda=0$ e a me serve l'autospazio relativo a $lambda=2$.
Ora, autovettori relativi ad autovalori differenti sono ortogonali tra loro. Allora mi basterebbe trovare due vettori ortogonali a $(1, -1, 0)$ ma andrei a ripetere quanto ho fatto per il punto 1...
"BRN":
Allora mi basterebbe trovare due vettori ortogonali a $(1, -1, 0)$ ...
Appunto:
$[F(vecb_1-vecb_2)=vec0] ^^ [F(vecb_1+vecb_2)=2(vecb_1+vecb_2)] ^^ [F(vecb_3)=2vecb_3]$
"BRN":
Determinare una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $F$.
Non resta che normalizzare $[vecb_1-vecb_2]$ e $[vecb_1+vecb_2]$. In definitiva:
$[sqrt2/2vecb_1-sqrt2/2vecb_2] ^^ [sqrt2/2vecb_1+sqrt2/2vecb_2] ^^ [vecb_3]$
In pratica con un procedimento solo si risponde a tutti e due i punti dell'esercizio. Ed in effetti ci sta, visto che stiamo parlando di un endomorfismo definito come $F=V rarr V$.
Direi che ora ci sono.
Grazie mille!
Direi che ora ci sono.
Grazie mille!
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