Base ortonormale costituita da autovettori.. dubbio procedimento
Ciao a tutti, stavo facendo questo esercizio, ma arrivo ad un punto dove ho un dubbio. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Se voi avreste agito in maniera diversa e più veloce, scrivetelo pure
Determinare una base ortonormale di $RR^3$ costituita da autovettori della seguente matrice $ A=( ( 2 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $
ho provato a svolgere così
mi calcolo gli autovalori col solito metodo (ometto i calcoli, è un po' lungo) che sono $ \lambda_(1,2)=1 \vee \lambda_3=4 $
la molteplicità algebrica è 2 per $\lambda=1$, ed è 1 per $\lambda=4$
ora i relativi autvettori, per $\lambda=4$
$ { ( -2x+y+z=0 ),( x-2y+z=0 ),( x+y-2z=0 ):}\to { ( -4y+2z+y+z=0 \),( x=2y-z ),( 2y-z+y-2z=0 ):}\to {(-3y+3z=0),(x=z),(y=z):}{ ( x=z ),( y=z ):} $
quindi è $z((1),(1),(1))\to z=1\to ((1),(1),(1))$
ora i relativi autovettori, per $\lambda=1$ (ho detto che è di molteplicità algebrica 2)
$ { ( x+y+z=0 ),( x+y+z=0 ),( x+y+z=0 ):}\to x=-y-z $
quindi per $y=0,z=1 \to ((-1),(0),(1))$ mentre per $y=1, z=0\to ((-1),(1),(0))$
Ora che ho trovato i relativi autovettori, devo vedere se sono ortogonali e poi normalizzarli esatto?
Se non sono ortogonali, devo utilizzare l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt esatto? e poi normalizzarli.. e così ho trovato la mia base ortonormale.. esatto?
Se voi avreste agito in maniera diversa e più veloce, scrivetelo pure
Determinare una base ortonormale di $RR^3$ costituita da autovettori della seguente matrice $ A=( ( 2 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $
ho provato a svolgere così
mi calcolo gli autovalori col solito metodo (ometto i calcoli, è un po' lungo) che sono $ \lambda_(1,2)=1 \vee \lambda_3=4 $
la molteplicità algebrica è 2 per $\lambda=1$, ed è 1 per $\lambda=4$
ora i relativi autvettori, per $\lambda=4$
$ { ( -2x+y+z=0 ),( x-2y+z=0 ),( x+y-2z=0 ):}\to { ( -4y+2z+y+z=0 \),( x=2y-z ),( 2y-z+y-2z=0 ):}\to {(-3y+3z=0),(x=z),(y=z):}{ ( x=z ),( y=z ):} $
quindi è $z((1),(1),(1))\to z=1\to ((1),(1),(1))$
ora i relativi autovettori, per $\lambda=1$ (ho detto che è di molteplicità algebrica 2)
$ { ( x+y+z=0 ),( x+y+z=0 ),( x+y+z=0 ):}\to x=-y-z $
quindi per $y=0,z=1 \to ((-1),(0),(1))$ mentre per $y=1, z=0\to ((-1),(1),(0))$
Ora che ho trovato i relativi autovettori, devo vedere se sono ortogonali e poi normalizzarli esatto?
Se non sono ortogonali, devo utilizzare l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt esatto? e poi normalizzarli.. e così ho trovato la mia base ortonormale.. esatto?
Risposte
"21zuclo":
Se non sono ortogonali, devo utilizzare l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt esatto? e poi normalizzarli.. e così ho trovato la mia base ortonormale.. esatto?
Ricorda che gli autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. Quindi devi ortogonalizzare solamente la base dei vari autospazi che hanno dimensione maggiore di uno
"Emar":
Ricorda che gli autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. Quindi devi ortogonalizzare solamente la base dei vari autospazi che hanno dimensione maggiore di uno
e ma qui ho l'autovettore relativo all'autovalore $\lambda=4$ è $((1),(1),(1))$
mentre per l'autovalore $\lambda=1$ (che ha molteplicità 2) ha 2 autovettori, che sono $((-1),(0),(1)), ((-1),(1),(0))$
quindi.. qui devo calcolare la loro molteplicità geometrica?.. la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore 4 è 1, mentre la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore 1 è 2..
quindi qui per trovare una base ortonormale, che devo fare?..sempre Gram-Schmidt?
"21zuclo":
quindi.. qui devo calcolare la loro molteplicità geometrica?.. la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore 4 è 1, mentre la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore 1 è 2..
Non serve che fai tanti calcoli, alla fine lo vedi subito qual'è la dimensione dell'autospazio risolvendo il sistema, come hai fatto appunto prima. Comunque è coretto, hai due autospazi $V_4,V_1$ che hanno dimensione $dim(V_4) = 1$ e $dim(V_1) = 2$.
"21zuclo":
quindi qui per trovare una base ortonormale, che devo fare?..sempre Gram-Schmidt?
Sì! Applichi GS alla base dell'autospazio $V_1$.
PS in linea di principio potresti applicare GS a tutti gli autovettori linearmente indipedenti senza farti troppi problemi, ma dato che sai per certo che autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali ti basta ortogonalizzare le basi degli autospazi con $dim(V_\lambda) \gt 1$
poi ho provato anche a fare così
se chiamo così i gli autovettori che ho trovato $ ul(v_1)=(1,1,1)^T, ul(v_2)=(-1,0,1)^T, ul(v_3)=(-1,1,0)^T $
se provo a fare il loro prodotto scalare, non ottengo sempre 0
$<((1),(1),(1))((-1),(0),(1))>$ $=-1+1=0$
$<((1),(1),(1))((-1),(1),(0))>$ $=-1+1=0$
ma se faccio $<((-1),(0),(1))((-1),(1),(0))>$ $=1 \ne 0$
quindi non è una base ortogonale.. devo fare Gram-Schmidt..
comunque poi terrò in mente quello che mi hai detto pure tu
se chiamo così i gli autovettori che ho trovato $ ul(v_1)=(1,1,1)^T, ul(v_2)=(-1,0,1)^T, ul(v_3)=(-1,1,0)^T $
se provo a fare il loro prodotto scalare, non ottengo sempre 0
$<((1),(1),(1))((-1),(0),(1))>$ $=-1+1=0$
$<((1),(1),(1))((-1),(1),(0))>$ $=-1+1=0$
ma se faccio $<((-1),(0),(1))((-1),(1),(0))>$ $=1 \ne 0$
quindi non è una base ortogonale.. devo fare Gram-Schmidt..
comunque poi terrò in mente quello che mi hai detto pure tu
Ma è appunto quello che ti ho detto. Come vedi anche dai tuoi calcoli gli autovettori associati a diversi autovalori sono ortogonali. E fino a qui ci siamo.
Il terzo prodotto scalare lo esegui tra i due vettori che generano l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda = 1$, e nessuno ti assicura che essi siano ortogonali, difatti non lo sono. Se ortogonalizzi questi ultimi due vettori con GS sei a posto.
Nel mio post precedente cercavo di dire proprio questo e dicevo appunto che non serve che applichi GS a tutto l'insieme degli autovalori lin. ind. ma è sufficiente che trovi una base ortogonale (con GS) per ogni autospazio con dimensione maggiore di uno.
Ci sei?
Il terzo prodotto scalare lo esegui tra i due vettori che generano l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda = 1$, e nessuno ti assicura che essi siano ortogonali, difatti non lo sono. Se ortogonalizzi questi ultimi due vettori con GS sei a posto.
Nel mio post precedente cercavo di dire proprio questo e dicevo appunto che non serve che applichi GS a tutto l'insieme degli autovalori lin. ind. ma è sufficiente che trovi una base ortogonale (con GS) per ogni autospazio con dimensione maggiore di uno.
Ci sei?
sì!..aspé che completo l'esercizio.. dimmi se è esatto..
allora applico G-S a quei 2 vettori che sono $ul(v_2)=((-1),(0),(1)), ul(v_3)=((-1),(1),(0))$
applico G-S
$ul(w_2)=ul(v_2)=(-1,0,1)^T$
$ ul(w_3)=((-1),(1),(0))-(<((-1),(1),(0))((-1),(0),(1))>)/(|| ((-1),(0),(1))||^2)((-1),(0),(1)) =((-1),(1),(0))-1/2 ((-1),(0),(1))=((-1/2),(1),(-1/2))$
ora che ho la seguente base ortogonale $B={ul(w_1)=((1),(1),(1)), ul(w_2)=((-1),(0),(1)),ul(w_3)((-1/2),(1),(-1/2))}$
devo dividere ciascun vettore per la sua norma, per trovare una base ortonormale..
la norma $ || w_1||=\sqrt{3}, ||w_2||=\sqrt{2}, ||w_3||=\sqrt{1/4+1+1/4}=\sqrt{1/2+1}=\sqrt{3/2} $
tutto esatto vero? XD
allora applico G-S a quei 2 vettori che sono $ul(v_2)=((-1),(0),(1)), ul(v_3)=((-1),(1),(0))$
applico G-S
$ul(w_2)=ul(v_2)=(-1,0,1)^T$
$ ul(w_3)=((-1),(1),(0))-(<((-1),(1),(0))((-1),(0),(1))>)/(|| ((-1),(0),(1))||^2)((-1),(0),(1)) =((-1),(1),(0))-1/2 ((-1),(0),(1))=((-1/2),(1),(-1/2))$
ora che ho la seguente base ortogonale $B={ul(w_1)=((1),(1),(1)), ul(w_2)=((-1),(0),(1)),ul(w_3)((-1/2),(1),(-1/2))}$
devo dividere ciascun vettore per la sua norma, per trovare una base ortonormale..
la norma $ || w_1||=\sqrt{3}, ||w_2||=\sqrt{2}, ||w_3||=\sqrt{1/4+1+1/4}=\sqrt{1/2+1}=\sqrt{3/2} $
tutto esatto vero? XD
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