Base ortonormale con Gram-Schmidt: dubbi
Salve a tutti, sto svolgendo questo esercizio e non mi è chiaro il ragionamento della soluzione.
Fin qui ci sono, una possibile base è $ v1 = (2 1 0 − 1)^T $ e $ v2 = (1 0 1 1)^T $ , con equazioni parametriche pari a
$ { ( x 1 = t + 2s ),( x 2 = s ),( x 3 = t ),( x 4 = t − s ):} $
Qui il testo propone due soluzioni:
Sia $V$ il sottospazio di $R^4$ generato da $ { (1 0 1 1)^T,(2 1 0 − 1)^T ,(1 1 − 1 − 2)^T} $
i. Determinare la dimensione ed una base di $V$ .
Fin qui ci sono, una possibile base è $ v1 = (2 1 0 − 1)^T $ e $ v2 = (1 0 1 1)^T $ , con equazioni parametriche pari a
$ { ( x 1 = t + 2s ),( x 2 = s ),( x 3 = t ),( x 4 = t − s ):} $
iii. Determinare una base ortonormale di $ V^_|_ $
Qui il testo propone due soluzioni:
- [*:5gqljdh4] compone un generico vettore $ (a b c d) $ e fa un prodotto scalare con le equazioni parametriche e lo pone uguale a 0 (per la proprietà di ortogonalità di uno spazio euclideo), ovvero : $ <[a b c d], [t+2s, s, t, t-s]> = 0 $, risolve rispetto $t$ ed $s$, ottiene un vettore generico e come possibile base $ {(−1 2 1 0)^T ,(−1 3 0 1)^T } $ ; in seguito, similmente a Gram Schmidt, prende il primo vettore di questa base, lo normalizza e lo chiama $ q1 $, mentre il secondo vettore diventa $ b 2 = (−1 3 0 1)^T − < (−1 3 0 1)^T ,q1 > * q1 $ che normalizzato diventa $ q2 $, e assieme a $q1 $ compone una base ortonormale di $ V^_|_ $. Quello che non mi torna è che se faccio lo stesso procedimento con Gram Schmidt non mi viene lo stesso risultato. Cosa sta facendo questa soluzione? [/*:5gqljdh4]
[*:5gqljdh4] Nell'altro caso applica effettivamente Gram-Schmidt, ma solo dopo aver completato la base del punto $ i. $ aggiungendo i primi due vettori della base canonica (cioè $e1=(1 0 0 0)^T$ ed $e2=(0 1 0 0)^T$). Perché ha bisogno di farlo, se $dim(V) = 2$ e molto probabilmente anche $dim(V^_|_) = 2$ ? [/*:5gqljdh4][/list:u:5gqljdh4]
Risposte
Il primo punto ti confermo che è giusto.
Per il terzo:
Nel primo modo scrive una base di $V^_|_$.
E poi applica Gram Schmidt a $V^_|_$ (spazio vettoriale di dimensione $2$), applica proprio la formula classica senza neessuna modifica. Non ho capito qual'è il tuo dubbio sinceramente. Se non ti è chiaro, fammi vedere il tuo processo di Gram Schmidt e vedo dove sbagli (e se sbagli).
Nel secondo modo, prima di tutto nota che ${e_1,e_2,e_3,e_4}$ sono una base di $RR^4$, per il lemma dello scambio una base equivalente è composta dai $2$ vettori della base di $V$ e altri due vettori della base di $B$. Facendo i conti avrà notato che quei vettori possono essere $e_1$ e $e_2$ dato che non appartengono a $V$.
Ora hai $B={v,w,e_1,e_2}$ base di $RR^4$, applicando il processo di Gram Schmidt ottieni una base ortonormale $B'={q_1,q_2,q_3,q_4}$ e quindi una base ortonormale di $V^(_|_)$ è $B''={q_3,q_4}$
Il motivo per cui il procedimento di Gram Schmidt applicato a questi 4 vettori funziona discende dalla teoria (In particolare il fatto che ad ogni passo tale algoritmo conserva lo span, qundi $Span(q_1,q_2)=Span(v,w)$)
Per il terzo:
Nel primo modo scrive una base di $V^_|_$.
E poi applica Gram Schmidt a $V^_|_$ (spazio vettoriale di dimensione $2$), applica proprio la formula classica senza neessuna modifica. Non ho capito qual'è il tuo dubbio sinceramente. Se non ti è chiaro, fammi vedere il tuo processo di Gram Schmidt e vedo dove sbagli (e se sbagli).
Nel secondo modo, prima di tutto nota che ${e_1,e_2,e_3,e_4}$ sono una base di $RR^4$, per il lemma dello scambio una base equivalente è composta dai $2$ vettori della base di $V$ e altri due vettori della base di $B$. Facendo i conti avrà notato che quei vettori possono essere $e_1$ e $e_2$ dato che non appartengono a $V$.
Ora hai $B={v,w,e_1,e_2}$ base di $RR^4$, applicando il processo di Gram Schmidt ottieni una base ortonormale $B'={q_1,q_2,q_3,q_4}$ e quindi una base ortonormale di $V^(_|_)$ è $B''={q_3,q_4}$
Il motivo per cui il procedimento di Gram Schmidt applicato a questi 4 vettori funziona discende dalla teoria (In particolare il fatto che ad ogni passo tale algoritmo conserva lo span, qundi $Span(q_1,q_2)=Span(v,w)$)
"Ernesto01":Come al solito ho sbagliato io un segno
fammi vedere il tuo processo di Gram Schmidt e vedo dove sbagli (e se sbagli)
. Ora mi torna.e quindi una base ortonormale di $V^⊥$ è $B''={q3,q4}$
Se sono tutti linearmente indipendenti, posso prendere anche $B"={q1,q3}$ ad esempio?
Purtroppo non mi è ancora chiaro perché costruire una base per $R^4$ con vettori aggiuntivi, se già la prima soluzione basta e avanza. Dico questo perché l'esercizio viene da un (fallito) appello universitario e durante il corso, le uniche volte che abbiamo "orlato" una base è perché ci è stato chiesto esplicitamente di completarla.
Non la completa per qualche motivo in particolare, diciamo che fa comodo utilizzare quella base per svolgere l'esercizio.
Per l'altra domanda no, se $Span(v,w)=Span(q_1,q_2)=V$ allora $q_3 _|_ V$ e $q_4 _|_ V$, quindi $q_3,q_4 in V^_|_$.
Tuttavia questo non vale se prendi $q_1$ o $q_2$
D'altro canto è facile verificare ch ${q_3,q_4}$ è una base di $V^_|_$, e che è ortonormale
Per l'altra domanda no, se $Span(v,w)=Span(q_1,q_2)=V$ allora $q_3 _|_ V$ e $q_4 _|_ V$, quindi $q_3,q_4 in V^_|_$.
Tuttavia questo non vale se prendi $q_1$ o $q_2$
D'altro canto è facile verificare ch ${q_3,q_4}$ è una base di $V^_|_$, e che è ortonormale
"Ernesto01":
Non la completa per qualche motivo in particolare, diciamo che fa comodo utilizzare quella base per svolgere l'esercizio.
Per l'altra domanda no, se $Span(v,w)=Span(q_1,q_2)=V$ allora $q_3 _|_ V$ e $q_4 _|_ V$, quindi $q_3,q_4 in V^_|_$.
Tuttavia questo non vale se prendi $q_1$ o $q_2$
D'altro canto è facile verificare ch ${q_3,q_4}$ è una base di $V^_|_$, e che è ortonormale
Capisco, nel caso voglia essere sicuro al 100% mi basta fare un prodotto scalare tra i vettori e prendere quelli ortogonali.
Ti ringrazio infinitamente!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo