Base Ortonormale

[Blackorgasm]

Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico $*$, e sia

$V={x in RR^3: 2x_1-x_2-2x_3=0}$.

°Si indichi una base ortonormale di $V$.
°Si dia una rappresentazione analitica (parametrica o cartesiana) dell'insieme $P={a in V: ||a||=1}$.

Allora intanto ho trovato una base di $V$ che ha dimensione 2, ovvero $V=<( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) )>$

ora, partendo da una qualsiasi base di $V$, attraverso il procedimento di Gram-Schmidt, posso ottenere una base ortonormale (sempre di $V$).

pongo $u_1=v_1$ ovvero $u_1=( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )$

$u_2=v_2-[(u_1*v_2)/(u_1*u_1)]u1

quindi $u_2=( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) )-1/2( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 1/2 ),( 2 ),( -1/2 ) )=( ( 1 ),( 4 ),( -1 ) )$

$V=<( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 4 ),( -1 ) )>$ base ortogonale

ora la ortonormalizzo dividendo ciascun vettore per la rispettiva norma, quindi

$V=<1/sqrt(2)( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ),1/sqrt(18)( ( 1 ),( 4 ),( -1 ) )>$ base ortonormale di $V$

per il secondo punto ho detto che un generico vettore $a in V$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base:

$a in V=k( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+j( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) )=( ( k+j ),( 2j ),( k ) )$ con $k, j in RR$

a questo punto, devo ortonormalizzare il vettore generico (ometto i calcoli):

$||a||=sqrt(2k^2+5j^2+2kj)$

quindi $P={a in V: ||a||=1}=1/sqrt(2k^2+5j^2+2kj)( ( k+j ),( 2j ),( k ) )$

giusto così? o c'è un metodo più veloce? grazie in anticipo

[Blackorgasm]

Up! non c'è nessuno che mi controlla l'esercizio?

[cirasa]

A parte i conti che ho controllato molto velocemente, giusto così.
Io avrei scritto:

$P={\ a\in V: ||a||=1\ }={\ ((k+j),(2j),(k)):\ k,j\in RR,\ 2k^2+5j^2+2kj=1}$

[Blackorgasm]

ho preso nota grazie per la risposta