Base ortonormale

[Adriano Romanista]

Una base ortonormale di uno spazio vettoriale può essere solo la base canonica del medesimo o l'opposta della base canonica giusto?


Sposto nella sezione corretta . Attenzione la prossima volta.
Camillo

[gmarron]

Dipende dal prodotto scalare che si considera. E' la matrice associata al prodotto scalare ad essere rappresentata da una matrice identica rispetto ad una base ortonormale. Possiamo dire cioè che per ogni base di uno spazio vettoriale esiste (ed è unico) un prodotto scalare rispetto a cui tale base è ortonormale.

[Adriano Romanista]

Affinché dei vettori costituiscano una base ortonormale devono essere tra loro ortogonali e devono avere norma 1 giusto?
Se ciò è vero credo che gli unici vettori utili a formare una base ortonormale siano quelli della base canonica oppure i loro opposti. Sbaglio? Come si fa ad associare una matrice ad un prodotto scalare se quest'ultimo è un numero reale?

[marco.bre]

"Adriano Romanista":Una base ortonormale di uno spazio vettoriale può essere solo la base canonica del medesimo o l'opposta della base canonica giusto?

Direi di no. Fatti un controesempio (ogni volta che hai una congettura conviene fare controesempi)
Una cosa facile: prendiamo $bbbR^2$ con il prodotto scalare standard. Prendi due vettori linearmente indipendenti (per due vettori basta sceglierli non proporzionali) e ortogonali (ad esempio $(1,-1)$ e $(-1,-1)$) e poi li normalizzi
${1/sqrt 2 (1,-1), 1/sqrt 2 (-1,-1)}$
Ma se ci pensi quando diagonalizzi un operatore cosa fai? cerchi una BASE ORTONORMALE di autovettori dello spazio, che solitamente sono ben diverse dalla base canonica.

"Adriano Romanista":Come si fa ad associare una matrice ad un prodotto scalare se quest'ultimo è un numero reale?

Il prodotto scalare non è un numero reale, se mai il prodotto scalare di due vettori è un numero reale. Se hai uno spazio vettoriale $V$ su cui è definito un prodotto scalare $cdot$ (di cui hai un'espressione funzionale), per ogni scelta di una base ${v_1,...,v_N}$ dello spazio si definisce la matrice associata al prodotto scalare rispetto a tale base la matrice
$(v_i cdot v_j)_{i,j=1,...,N}$
cioè la matrice che per elemento in posizione $ij$ ha $v_i cdot v_j$

[Adriano Romanista]

ahhh ok!! Grazie a tutti