Base ortogonale di spazio vettoriale
Sia \( V \subseteq \mathbb{R}_3[x] \) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 3 su \( \mathbb{R} \) con la forma bilineare:
\[ \left \langle p,q \right \rangle = \int_{-1}^{1} pq dx \]
Dimostrare che l''insieme \( \{ p_0,p_1,p_2,p_3 \} \) di polinomi
\( p_0 = 1 \)
\( p_1 = x \)
\( p_2 = \frac{1}{2}(3x^2-1) \)
\( p_3 = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \)
è una base ortogonale di \( V \)
So come procedere, ovvero se \( \left \langle p_i,p_j \right \rangle =0 \) per tutti gli \( 0 \leq i \neq j \leq 3 \) allora abbiamo una base ortogonale. Però mi chiedevo se ci fosse un metodo un po' più rapido e meno "calcoloso" che farsi 16 integrali. Che non sono difficili per carità ma lo stesso, esiste un metodo meno "tedioso" ?
\[ \left \langle p,q \right \rangle = \int_{-1}^{1} pq dx \]
Dimostrare che l''insieme \( \{ p_0,p_1,p_2,p_3 \} \) di polinomi
\( p_0 = 1 \)
\( p_1 = x \)
\( p_2 = \frac{1}{2}(3x^2-1) \)
\( p_3 = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) \)
è una base ortogonale di \( V \)
So come procedere, ovvero se \( \left \langle p_i,p_j \right \rangle =0 \) per tutti gli \( 0 \leq i \neq j \leq 3 \) allora abbiamo una base ortogonale. Però mi chiedevo se ci fosse un metodo un po' più rapido e meno "calcoloso" che farsi 16 integrali. Che non sono difficili per carità ma lo stesso, esiste un metodo meno "tedioso" ?
Risposte
Secondo me se applichi Gram-Schmidt a \(\{1, x, x^2, x^3\}\) ti viene fuori proprio quella roba lì.
Beh innanzitutto scoprire che basta farne 10 semplifica le cose 
Poi dove le funzioni sono dispari è automatico che l'integrale sia zero.
Quindi restano 4 integrali per provare che danno 1 + un paio meno evidenti che devono dare zero.
Oppure scrivi "ho calcolato esattamente quei polinomi di Fourier per quel dato prodotto scalare, quindi sono certo che formino una base ortonormale".
P.S. A proposito, sono esattamente i polinomi a cui facevo riferimento nel tuo post di analisi numerica...quello del sistema di approssimazione.
Poi dove le funzioni sono dispari è automatico che l'integrale sia zero.
Quindi restano 4 integrali per provare che danno 1 + un paio meno evidenti che devono dare zero.
Oppure scrivi "ho calcolato esattamente quei polinomi di Fourier per quel dato prodotto scalare, quindi sono certo che formino una base ortonormale".
P.S. A proposito, sono esattamente i polinomi a cui facevo riferimento nel tuo post di analisi numerica...quello del sistema di approssimazione.
edit: non mi ero accorto che la risposta di sopra fosse simile; metto in spoiler.
"Bokonon":
"ho calcolato esattamente quei polinomi di Fourier per quel dato prodotto scalare, quindi sono certo che formino una base ortonormale".
Giusto. Questo è esattamente lo stesso che dicevo io nel mio post precedente. Non sapevo si dicesse "polinomi di Fourier", ma comunque, è quello: il sistema di polinomi ortogonali ottenuto fissando un prodotto scalare e applicando Gram-Schmidt a \(\{1, x, x^2, \ldots, x^n\}\).
In questo caso, Gram-Schmidt da
\[
v_1= 1, \ v_2=x,\ v_3=x^2-\frac{\langle x^2|1\rangle}{\|1\|^2}1,\ v_4=x^3-\frac{\langle x^3|x\rangle}{\|x\|^2}x, \]
ovvero
\[
v_1=1,\ v_2=x,\ v_3=x^2-\frac23,\ v_v=x^3-\frac35 x, \]
che è lo stesso risultato della traccia a patto di moltiplicare \(v_3\) per \(\frac32\) e \(v_4\) per \(\frac52\). In particolare, i polinomi dati sono ortogonali.
"dissonance":
Secondo me se applichi Gram-Schmidt a \( \{1, x, x^2, x^3\} \) ti viene fuori proprio quella roba lì.
Non so cosa sia Gram-Schmidt, però il primo esercizio era di cacolare la matrice della forma bilineare relativa a \( \{1, x, x^2, x^3\} \)
"Bokonon":
Beh innanzitutto scoprire che basta farne 10 semplifica le cose
Poi dove le funzioni sono dispari è automatico che l'integrale sia zero.
Quindi restano 4 integrali per provare che danno 1 + un paio meno evidenti che devono dare zero.
Oppure scrivi "ho calcolato esattamente quei polinomi di Fourier per quel dato prodotto scalare, quindi sono certo che formino una base ortonormale".
P.S. A proposito, sono esattamente i polinomi a cui facevo riferimento nel tuo post di analisi numerica...quello del sistema di approssimazione.
Non abbiamo ancora fatto i polinomi di Fourier, e chiaramente si possono diminuire gli integrali, però la mia domanda era più, e mi sono spiegato male, se esistesse un modo diverso dal controllare se \( \left \langle p_i,p_j \right \rangle = 0 \), in generale che valesse sempre.
P.S. ah quindi scelti questi polinomi l'approssimazione numerica del determinante è più precisa? Oppure intendevi di mettere i polinomi di Fourier (sono questi vero?) al posto di \( x_0, \ldots , x_n \) all interno della matrice di Vandermonde?
"3m0o":
Non abbiamo ancora fatto i polinomi di Fourier, e chiaramente si possono diminuire gli integrali, però la mia domanda era più, e mi sono spiegato male, se esistesse un modo diverso dal controllare se \( \left \langle p_i,p_j \right \rangle = 0 \), in generale che valesse sempre.
Innanzitutto un errata corrige. Non so perchè continuo a pensare ai polinomi di Fourier...che sono un'altra cosa.
Quelli che ti hanno dato sono i polinomi di Legendre
https://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_di_Legendre
E non c'è in generale un modo facile per "controllare". In questo caso erano i classsici polinomi calcolati con l'integrale fra -1 e 1, quindi usare il trucco delle funzioni dispari aiuta molto.
Ma ti faranno calcolare anche basi ortonormali di polinomi col medesimo integrale fra 0 e 1 o con i più bizzarri prodotti scalari. E il metodo è sempre quello. Si parte dalla base canonica e si usa Gram-Schmidt.
"3m0o":
P.S. ah quindi scelti questi polinomi l'approssimazione numerica del determinante è più precisa? Oppure intendevi di mettere i polinomi di Fourier (sono questi vero?) al posto di \( x_0, \ldots , x_n \) all interno della matrice di Vandermonde?
La matrice di Vandermonde è usata anche per le approssimazioni lineari di funzioni in determinati intervalli (oppure ad es. compare nella risoluzione di sistemi differenziali).
Per le stime, è sempre meglio usare una base ortonormale per evitare di commettere errori troppo grandi, quindi i polinomi di Legendre sono ottimali. L'idea di "quadrare" le curve in questo modo la ebbe Gauss e in questo caso si utilizza un polinomio di Legendre di grado (n-1) per interpolare n punti.
Ma poi le medesime idee si possono applicare per altri problemi negli ambiti più vari usando altre basi...in fondo a questo serve l'algebra lineare.
Scoprire nuove basi significative è una caccia all'oro! Per esempio per comprimere video e audio in streaming usano una base bizzarra di cui non ricordo il nome ma che è decisamente più economica che calcolare per esempio gli autovalori e gli autovettori e non ha le problematiche collegate.
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