Base ortogonale di autovettori
Facendo qualche esercizio mi sono imbattuto in un quesito ricorrente.
Mi si chiedeva di determinare, se possibile, una base ortoganale di AUTOVETTORI per $RR^3$
Nell'esercizio viene fornita una matrice 3x3 trovo gli autovalori e i relativi autospazi, ma come faccio a trovare tale base?
Il procedimento per l'ortogonalizzazione lo conosco, il punto è che non so se rendendo ortogonali quegli autovettori rischio di ottenere dei vettori che non sono più AUTOvettori; il che giustificherebbe quel "se possibile" xD
Ma quindi come si fa a determinare quando è possibile trovare tale base ortogonale e quando non lo è?
Mi si chiedeva di determinare, se possibile, una base ortoganale di AUTOVETTORI per $RR^3$
Nell'esercizio viene fornita una matrice 3x3 trovo gli autovalori e i relativi autospazi, ma come faccio a trovare tale base?
Il procedimento per l'ortogonalizzazione lo conosco, il punto è che non so se rendendo ortogonali quegli autovettori rischio di ottenere dei vettori che non sono più AUTOvettori; il che giustificherebbe quel "se possibile" xD
Ma quindi come si fa a determinare quando è possibile trovare tale base ortogonale e quando non lo è?
Risposte
Secondo me potresti sfruttare alcune proprietà teoriche. Ad esempio se non sbaglio ce ne dovrebbe essere una la quale dice che se $f:RR^3->RR^3$ è un endomorfismo diagonalizzabile allora autovettori relativi ad autospazi diversi sono ortogonali.
Sì l'endomorfismo è diagonalizzabile...quindi se è diagonalizzabile si può anche trovare una base ortogonale di autovettori sempre???
Prova a controllare su un testo...ma mi pare che sia una condizione necessaria e sufficiente...
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