Base ortogonale dell'immagine

[dropino]

Calcolare una base ortogonale dell'immagine della trasformazione lineare T : R3 -> R3 definita ponendo

$ T(x, y, z) =(2x + 2y + 4z, 3x + 3z, -3y -3z) $

-Per prima cosa sono andato a ridurre con gauss la matrice formata dai vettori e quindi ad estrarre una base dell' immagine = (3,0,0),(0,3,0)

-poi ho applicato gram-schmidt
$ w1=v1=(3,0,0) $
$ w2=(0,3,0)-(((0,3,0)*(3,0,0))/((3,0,0)*(3,0,0)))*(3,0,0) $

tuttavia anche senza fare il conto so di aver sbagliato qualcosa: infatti la prima dovrebbe portare (2,3,0) e la seconda (6,-4,-13)

Sto sbagliando qualcosa nel procedimento?

[cooper1]

hai sbagliato a calcolare la base dell'immagine. riducendo con Gauss trovi che il rango della matrice è 2 per cui una base dell'immagine è data dai primi due vettori colonna della matrice non ridotta, per cui $ (2,3,0)^T ^^ (2,0,-3)^T $

[dropino]

ah ecco, grazie mille! Scusami se chiedo ancora ma poi andando a calcolare w2 ho:

$ w2=(2,0,−3)-(((2,0,−3)*(2,3,0))/((2,3,0)*(2,3,0)))*(2,3,0) = (2,0,−3) - (4/13)*(2,3,0) = (2, 0, -3)-(8/13 , 12/13 , 0) = (18/13 , -12/13 , -3) $

probabilmente sto sbagliando qualcosa di veramente elementare ma w2 dovrebbe essere (6,-4,-13) e non riesco a capire cosa devo correggere!

[cooper1]

sinceramente non lo so nemmeno io! :') anche io ottengo i tuoi valori. quel che è certo è che anche la nostra base è corretta (ti ricordo comunque che ne esistono di infinite). quindi l'esercizio è risolto lo stesso
non so comunque il tuo professore dove abbia trovato quel secondo vettore.

[Magma1]

$ T(x, y, z) =(2x + 2y + 4z, 3x + 3z, -3y -3z) $

$M_T=( ( 2 , 2 , 4 ),( 3 ,0 , 3 ),( 0 , -3 , -3 ) )$

$I_m(T)=\mathcal(L) {((2),(0),(-3)),((2),(3),(0))}$

$w_1=v_1=((2),(0),(-3))$

$ w_2=((2),(3),(0))-((2,3,0)*(2,0,-3))/((2,0,-3)*(2,0,-3))((2),(0),(-3)) =$

$= ((2),(3),(0)) - ((2,3,0)( ( 2 , 2 , 4 ),( 3 ,0 , 3 ),( 0 , -3 , -3 ) ) ((2),(0),(-3)))/((2,0,-3)( ( 2 , 2 , 4 ),( 3 ,0 , 3 ),( 0 , -3 , -3 ) ) ((2),(0),(-3))) ((2),(0),(-3))=$



$=((2),(3),(0))-((2,3,0) ((-8),(-3),(9)))/((2,0,-3) ((-8),(-3),(9))) ((2),(0),(-3))$

$=((2),(3),(0))-(25)/(43) ((2),(0),(-3))=((36/43),(3),(75/43))$

A me viene così, però dipende anche che colonne avrà scelto per trovarsi la base ortogonale...

[cooper1]

hai sbagliato a calcolare $ w_2 $ .

"Magma":

$ w_2=((2),(0),(−3))-(((2,0,−3)*(2,3,0))/((2,3,0)*(2,3,0)))((2),(3),(0)) = $

tu hai scelto $ w_1 $ come il vettore $ (2,0,-3) $ ma poi per calcolare $ w_2 $ hai invertito i ruoli di uno e dell'altro.
per quanto riguarda prendere altre colonne ci avevo pensato anche io ma: sicuramente ha preso il vettore $ (2,3,0) $ dato che è nella soluzione. però se prendo l'ultimo vettore colonna che rimane ( $ (4,3,-3) $ ) ottengo (al netto di errori di conto) gli stessi risultati di prima.

[dropino]

grazie mille per tutte le risposte!

Ho provato anche a mandargli una mail: mi ha detto che ho applicato trasformazioni riga nella matrice e di non farlo perchè cambia l' immagine della trasformazione lineare.

ecco come l' avevo svolto http://imgur.com/a/VAj1q (ignorate l' a=b=2, erano dei parametri che andavano sostituiti nel testo in base al numero di matricola)

Tuttavia non mi sembrava di aver fatto trasformazioni riga, ho solo trovato i pivot ma poi ho preso le prime due righe della matrice originale, non dell'altra


Ne approfitto anche per risolver un' altro dubbio, sempre sullo stesso argomento ma con una base ortogonale del nucleo:
Qui ho lo stesso problema (w1 è corretta, w2 è sbagliata). http://imgur.com/a/J6vaH
Penso di aver sbagliato la sostituzione di a e b (non gli a=b=2, stupidamente li ho chiamati con lo steso nome ma non hanno niente a che fare con la risoluzione del sistema lineare)

[cooper1]

hai linkato la stessa immagine due volte (non c'è l'es di prima).
per quanto riguarda il secondo hai sbagliato a fare l'ultima differenza:
$ (0,1,3)-(9/10, 0,27/10)!=(0,0,1/10) $ a me esce invece $ w_2=(-9/10,0,3/10) $

[dropino]

Oops, editato il post! (la metto anche qui: http://imgur.com/a/VAj1q )

non so come mi è uscita quella differenza, non riesco a spiegarmelo!

[cooper1]

anche io ho usato la stessa tecnica e sinceramente non riesco a vedere l'errore, ma non me ne faccio un cruccio alla fin fine anche il nostro risultato è coerente.
ahaha purtroppo capita. :') un consiglio che posso darti e di verificare che i vettori che hai trovato come base siano effettivamente ortogonali (ci si mette davvero due secondi). con questo sistema avresti subito visto che $(1,0,3)$ e $(0,0,1/10)$ non sono tra loro ortogonali.

[dropino]

vero, in effetti si fa subito, grazie mille!

[Magma1]

"cooper":hai sbagliato a calcolare $ w_2 $ .

Giusto Corretto!