Base Ortogonale

[pepsi80]

Salve ho il seguente esercizio:
Calcolare una base ortogonale per il nucleo della trasformazione lineare
f : $R^3$ → $R^3$ definita ponendo
f(x, y, z) = (g(x, y, z), 2g(x, y, z),-g(x, y, z))

con
g(x, y, z) =((10-6)(6-7)−1)x+(7+6-20)y+((10-7)(6-7)+1)z
per ogni (x, y, z) ∈ $R^3$

BASE ORT. ={(7 − 1, −1, 6 + 2),(1, 7 + 6 + 1, 1)}.

Come prima cosa ho calcolato

$g(x,y,z) = (-5x-7y-2z)$

E poi ho calcolato f(x,y,z)
$f(x,y,z) = (-5x-7y-2z,-10x-14y-4z,5x+7y+2z)$

Ho calcolato la matrice e ridotta

$A= ( (-5,-7,-2),(0,0,0),(0,0,0))$

Ho quindi l'equazione:

$r = \{(x=-7/5s -2/5t),(y=s),(z=t):}$

Quindi una base sarebbe:

$B = {((-7),(5),(0)) , ((-2),(0),(5))}$

E' giusto fino a questo punto?

[cooper1]

si

[pepsi80]

Allora non capisco.. penso di aver capito il procedimento corretto ma...

pongo
$w_1 = ((-2,0,5))$
$v_2 = ((-7,5,0))$

$w_2 = (-7,5,0) * ((-2,0,5)*(-7,5,0))/((-2,0,5)*(-2,0,5))*(-2,0,5) = (-231/29,5,-70/29)$


Base ortogonale = ${((-2),(0),(5)) , ((-231),(145),(70))}$


Però risulta sbagliato come sempre

[cooper1]

qui nel calcolare hai invertito il ruolo di $v_1,v_2$. in pratica devi avere $w_1 = v_1$.
non so che pensare altrimenti. ma cosa vuol dire poi che non ti esce scusa?
con la correzione a me una base ortogonale viene: $B={((-7),(5),(0)),((25),(35),(0))}$
questo risultato a me sembra assolutamente corretto ed accettabile: sono due vettori ortogonali (il loro prodotto scalare è nullo infatti) e sono stati costruiti prendendo una base del nucleo. non vedo perchè debba essere sbagliato sinceramente.
una cosa che potrebbe venirmi in mente è questa: sei sicuro che sia il prodotto scalare standard? la base che fornisce il testo è corretta anche per il prodotto scalare standard di $RR$ ma potrebbe anche essere un'enorme coincidenza.

[pepsi80]

Ecco cos'avevo sbagliato. Grazie mille per la rapida risposta!