Base ortogonale

[Shika93]

Mi viene data l'equazione di $V\in \RR^3$ $x-2y+3z=0$ e mi si chiede dopo aver trovato la base di $V^\bot$, di dire se esiste un sottospazio $U!=V^\bot$ in modo da avere $U$ e $V$ in somma diretta.
Come lo faccio a dimostrarlo?
Io ho trovato la base di V $B_V={((2),(1),(0)), ((-3),(0),(1))}$ e quindi la base ortogonale è per definizione $V^\bot= = =0$ dove $w \in \RR^3$ è un vettore qualunque e $v_1, v_2$ sono i due vettori che compongono la base di V.
Quindi ho:
$2x+y=0$
$-3x+z=0$
e quindi trovo che $B^\bot={((1),(-2),(3))}$
Bene, quindi vedo che $dim(V)=2$ quindi per forza di cose $dim(U)=1$. Ora per essere in somma diretta, $dim(U+V)=3 \Rightarrow dim(U \^^ V)=0$. A questo punto come faccio a dire se c'è o no $U != V^\bot$ tale che $U\oplus V=\RR^3$?

[billyballo2123]

In pratica $V$ è un piano, e $V^{_|_ }$ è la retta ortogonale al piano. Quindi $U$ è una qualunque retta non contenuta nel piano e nemmeno ortogonale al piano, ad esempio la retta che ha per vettore direttore $(1 \ \ 0 \ \ 0)^T$.

[Shika93]

Se $U$ dovesse avere dimensione 2 faccio la stessa cosa e cerco 2 vettori a caso non contenuti in V e non ortogonali?

[billyballo2123]

Innanzitutto se siamo in $\mathbb{R}^3$ e $U$ ha dimensione $2$, allora $V$ è una retta. Quindi $V^{_|_}$ è l'unico piano ortogonale alla retta, e $U$ è un qualunque piano (non contentente $V$) generato da due vettori linearmente indipendenti e non entrambi ortogonali a $V$.