Base ortogonale

[shiva28]

Trovare una base ortogonale per $U=Span{( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) \ ,( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) \ ,( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 2 ) ) }$


Chiamo i tre vettori rispettivamente:
$U=Span(Y_1,Y_2,Y_3)$

Verifico che il sistema di generatori di $U$ sia composto da vettori linearmente indipendenti.

Mi accorgo subito che $Y_3=Y_1+Y_2$

una base di $U$ è la seguente $B_U={Y_1,Y_2}={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) \ ,( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) )}$

Procedo con l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt su questi due vettori:

$X_1=Y_1=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$

$X_2=Y_2-(:X_1,Y_2:)/(:X_1,X_1:) \ \ X_1=( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 1/2 ) ) $


Quindi una base ortogonale $B'$ di $U$ è:

$B'={X_1,X_2}={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 1/2 ) )}$



E' corretto quello che ho fatto?

Prima non mi ero accorto che $Y_3 in Span(Y_1,Y_2)$,
quindi il terzo vettore della base ortogonale $B'$ mi veniva (0,0,0), che non può essere un vettore di una base.

Saluti

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Credo sia tutto esatto; inoltre, a giudicare dai risultati ottenuti, si dovrebbe essere a posto, visto che i due vettori finali $X_1$ e $X_2$ sono sicuramente ortogonali tra loro.

Poi, eventualmente, i vettori potrebbero essere normalizzati, ma questo è un altro discorso.

Saluti.

[shiva28]

"alessandro8":Ciao.

Credo sia tutto esatto; inoltre, a giudicare dai risultati ottenuti, si dovrebbe essere a posto, visto che i due vettori finali $X_1$ e $X_2$ sono sicuramente ortogonali tra loro.

Poi, eventualmente, i vettori potrebbero essere normalizzati, ma questo è un altro discorso.

Saluti.

Ciao alessandro8 e grazie per la conferma

Mi potresti far luce su questo fatto della normalizzazione?
E' capitato, che dopo aver trovato una base ortogonale tramite l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, il prodotto scalare dei vettori non fosse nullo (quindi non perpendicolari a due a due). Mentre se li normalizzo, il loro prodotto scalare è nullo (come dovrebbe essere per una base ortogonale).
Qual'è il motivo sottostante? non capisco

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Per "normalizzare" un vettore, basta dividere il vettore stesso per la sua lunghezza, in modo da ottenere un versore avente stessa direzione e stesso verso del vettore di partenza.

Saluti.

[dissonance]

"Polar28":
E' capitato, che dopo aver trovato una base ortogonale tramite l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, il prodotto scalare dei vettori non fosse nullo (quindi non perpendicolari a due a due). Mentre se li normalizzo, il loro prodotto scalare è nullo (come dovrebbe essere per una base ortogonale).
Qual'è il motivo sottostante?

un doppio errore nei conti: uno nell'applicare Gram-Schmidt, che deve restituire un sistema ortogonale, e un altro nel normalizzare, che non puo' cambiare l'ortogonalità. Se $a*b ne 0$, non è possibile che faccia zero dopo aver normalizzato.

[shiva28]

"dissonance":un doppio errore nei conti

Si sicuramente avrò sbagliato i conti.