Base nel dominio di una applicazione lineare.

[BRN1]

Ciao a tutti, mi serve una mano con questo esercizio:

Sia data la matrice reale

$ A=((2,0,2),(0,2,2),(0,0,4))$

Determinare una base $C$ di $RR^3$ tale che la matrice $A$ sia la matrice rappresentativa dell'identità $id: RR^3 rarr RR^3$ rispetto alla base $C$ in dominio e alla base canonica $xi$ in codominio.

La matrice $A$ ha come colonne i coefficienti delle combinazioni lineari dei vettori immagine con i vettori della base canonica. Per intenderci, i vettori immagine si possono scrivere come combinazione lineare dei vettori della base (in questo caso canonica) del codominio:

$2((1),(0),(0))+0((0),(1),(0))+0((0),(0),(1)) = ((2),(0),(0))$

$0((1),(0),(0))+2((0),(1),(0))+0((0),(0),(1)) = ((0),(2),(0))$

$2((1),(0),(0))+2((0),(1),(0))+4((0),(0),(1)) = ((2),(2),(4))$

ma così facendo, ovviamente, vado a riscrivere i vettori che compongono $A$...

Non saprei bene come approcciare questo esercizio. Qualcuno che mi dia una mano?

[anonymous_0b37e9]

La base $C$ è proprio quella sottostante:

$((2),(0),(0)) ^^ ((0),(2),(0)) ^^ ((2),(2),(4))$

Infatti, poiché:

$((2),(0),(0))=1((2),(0),(0))+0((0),(2),(0))+0((2),(2),(4))$

$((0),(2),(0))=0((2),(0),(0))+1((0),(2),(0))+0((2),(2),(4))$

$((2),(2),(4))=0((2),(0),(0))+0((0),(2),(0))+1((2),(2),(4))$

la matrice $A$ riceve in ingresso le componenti rispetto alla base $C$ di uno dei tre vettori della base $C$ medesima e restituisce in uscita le sue componenti rispetto alla base naturale:

$((2),(0),(0))=((2,0,2),(0,2,2),(0,0,4))((1),(0),(0))$

$((0),(2),(0))=((2,0,2),(0,2,2),(0,0,4))((0),(1),(0))$

$((2),(2),(4))=((2,0,2),(0,2,2),(0,0,4))((0),(0),(1))$

[BRN1]

In effetti il ragionamento non fa una grinza. Diciamo che ero sulla strada giusta, ma sono ancora troppo insicuro su queste cose. Infatti il prossimo esercizio che posterò sara ancora relativo a matrici rappresentative e basi.

Per il momento grazie mille!