Base matrice

[Luca D.1]

Ciao a tutti.
Se una matrice nxn ha rango pieno, possiamo dire che una sua base è sempre una matrice identità nxn?
Mi spiego meglio con un esempio:
$A = [[1, -2, 4], [1, -1, 1], [1, 2, 1]]$
Il determinante è diverso da zero, quindi il rango è uguale a 3 (=n) e di conseguenza i tre vettori colonna sono linearmente indipendenti.
Una base di A sarà allora proprio $Ima(A) = [[1, -2, 4], [1, -1, 1], [1, 2, 1]]$
Ora, dato che all'interno di una base si possono effettuare combinazioni lineari tra i vettori, possiamo ricondurci alla matrice:
$[[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]$ e riordinando le colonne otteniamo una matrice identità 3x3: $[[1, 0, 0], [0, 1, 0],[0, 0, 1]]$.
La domanda quindi è: se il rango di una matrice nxn è pieno, la base della sua immagine sarà sempre una matrice identità nxn?
Grazie mille!

[fu^2]

"Luca D.":Ciao a tutti.
Se una matrice nxn ha rango pieno, possiamo dire che una sua base è sempre una matrice identità nxn?
Mi spiego meglio con un esempio:
$A = [[1, -2, 4], [1, -1, 1], [1, 2, 1]]$
Il determinante è diverso da zero, quindi il rango è uguale a 3 (=n) e di conseguenza i tre vettori colonna sono linearmente indipendenti.
Una base di A sarà allora proprio $Ima(A) = [[1, -2, 4], [1, -1, 1], [1, 2, 1]]$
Ora, dato che all'interno di una base si possono effettuare combinazioni lineari tra i vettori, possiamo ricondurci alla matrice:
$[[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]$ e riordinando le colonne otteniamo una matrice identità 3x3: $[[1, 0, 0], [0, 1, 0],[0, 0, 1]]$.
La domanda quindi è: se il rango di una matrice nxn è pieno, la base della sua immagine sarà sempre una matrice identità nxn?
Grazie mille!

come tre vettori linearmente indipendenti posson avere sempre la base canonica, ma attenziaone, riordinando le colonne cambi la base...

[Luca D.1]

"fu^2":[quote="Luca D."]Ciao a tutti.
Se una matrice nxn ha rango pieno, possiamo dire che una sua base è sempre una matrice identità nxn?
Mi spiego meglio con un esempio:
$A = [[1, -2, 4], [1, -1, 1], [1, 2, 1]]$
Il determinante è diverso da zero, quindi il rango è uguale a 3 (=n) e di conseguenza i tre vettori colonna sono linearmente indipendenti.
Una base di A sarà allora proprio $Ima(A) = [[1, -2, 4], [1, -1, 1], [1, 2, 1]]$
Ora, dato che all'interno di una base si possono effettuare combinazioni lineari tra i vettori, possiamo ricondurci alla matrice:
$[[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]$ e riordinando le colonne otteniamo una matrice identità 3x3: $[[1, 0, 0], [0, 1, 0],[0, 0, 1]]$.
La domanda quindi è: se il rango di una matrice nxn è pieno, la base della sua immagine sarà sempre una matrice identità nxn?
Grazie mille!

come tre vettori linearmente indipendenti posson avere sempre la base canonica, ma attenziaone, riordinando le colonne cambi la base...[/quote]
Grazie per la risposta!
In che senso cambio la base? Per ricondurci a $[[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]$ abbiamo fatto combinazioni lineari senza cambiare la base giusto? Ora non possiamo portarci da qui alla matrice identità facendo ancora combinazioni lineari invece che scambiando colonne? In tal caso, ragionando come prima, non abbiamo cambiato la base visto che prima non l'abbiamo fatto.. o no?

[n.icola114]

Ciao, non sono un esperto ma da quel che mi ricordo
facendo operazioni come quelle da te fatte sulle colonne di $A$ non modifichi lo spazio da esse generato
che essendo il rango massimo coincide con $RR^3$
la base è invece un insieme ordinato di vettori linearmente indipendenti e quindi ${(0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)}$ e ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$ sono due basi diverse

comunque è tanto che non faccio queste cose perciò chiedi conferme,
ciao

[fu^2]

come dice n.icola, quando scambi due colonne tra loro, è come se le colonne delle z le metti nelle x, quelle delle x nlle y e quelle delle y nelle z.
quindi applichi un'applicazione linerare f(x,y,z)->(z,x,y) per poterti ricondurre alla forma canonica, in questo modo tu hai adoperato un isomosrfismo tra le colonne, quindi in soldoni hai fatto un cambio di coorddianate e quindi hai fatto un cambio di base.

[Luca D.1]

"fu^2":come dice n.icola, quando scambi due colonne tra loro, è come se le colonne delle z le metti nelle x, quelle delle x nlle y e quelle delle y nelle z.
quindi applichi un'applicazione linerare f(x,y,z)->(z,x,y) per poterti ricondurre alla forma canonica, in questo modo tu hai adoperato un isomosrfismo tra le colonne, quindi in soldoni hai fatto un cambio di coorddianate e quindi hai fatto un cambio di base.

Ok ho capito.
Possiamo affermare che per trovare l'immagine di una matrice va bene una qualsiasi delle sue basi?
Di conseguenza, se A ha rango pieno, $Im(A) = I_(dim(A))$ ?

[fu^2]

no basi diverse immagini diverse...
lo spazio può essere lo stesso, ma le coordianta no
ovviamente questi discorsi van bene solo per matrici quadrate

[Luca D.1]

"fu^2":no basi diverse immagini diverse...
lo spazio può essere lo stesso, ma le coordianta no
ovviamente questi discorsi van bene solo per matrici quadrate

Ricapitolando: scambio colonne -> base diversa.
Ma lo scambio di colonne può essere anche visto come combinazioni lineari tra le colonne.. quindi combinazioni lineari -> basi diverse.
Quindi, tornando all'esempio: $A = [[1, -2, 4],[1, -1, 1],[1, 2, 1]]$
Se faccio combinazioni lineari cambio la base.. quindi la base di A è esattamente A?

[fu^2]

se le tre colonne di A sono indipendenti tra loro (nn ho voglia di far conti ora) allora sono una base dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice
cmq ci ho pensato ora a questo
010
001
100
non genera tutte le matrici, ma le sue colonne generano uno spazio, ma esse nn sono una base per le matrici 3x3.
la base standard per esse è
100 010
000 000
000 000....

e via dicendo.
quelle sono le basi dell'immagine dell'applicazione lineare a cui è associata la matrice.
scusa mi ero confuso prima
chiedo scusa...

[Luca D.1]

Mi sono un pò perso... allora: io sto svolgendo un esercizio di controlli automatici (il che, ovviamente, è ininfluente ) dove viene chiesto di calcolare la matrice di osservabilità e quindi una sua immagine.
La matrice di osservabilità risulta: $[[0, 1, 0],[-1, -1, -1],[0, -1, 0]]$.
La terza colonna è uguale alla prima, quindi solo le prime due sono linearmente indipendenti
La soluzione dice: $Im(A) = [[0, 1],[-1, -1], [0, -1]] = [[0, 1],[-1, 0], [0, -1]]$
Il primo passaggio è chiaro, ma nel secondo ha sottratto la prima colonna alla seconda!
Quindi manipolare una base con delle combinazioni lineari fornisce una base identica e di conseguenza un'ìmmagine identica?

[gugo82]

"Luca D.":Mi sono un pò perso... allora: io sto svolgendo un esercizio di controlli automatici (il che, ovviamente, è ininfluente ) dove viene chiesto di calcolare la matrice di osservabilità e quindi una sua immagine.
La matrice di osservabilità risulta: $[[0, 1, 0],[-1, -1, -1],[0, -1, 0]]$.
La terza colonna è uguale alla prima, quindi solo le prime due sono linearmente indipendenti
La soluzione dice: $Im(A) = [[0, 1],[-1, -1], [0, -1]] = [[0, 1],[-1, 0], [0, -1]]$
Il primo passaggio è chiaro, ma nel secondo ha sottratto la prima colonna alla seconda!
Quindi manipolare una base con delle combinazioni lineari fornisce una base identica e di conseguenza un'ìmmagine identica?

L'immagine della matrice vista come operatore lineare $RR^3toRR^3$ è sempre la stessa; il cambiamento di base di $"Im"(A)$ non altera il sottospazio $"Im"(A)$, ma cambia unicamente il tuo modo di rappresentare i vettori di $"Im"(A)$ in coordinate.

Faccio un esempio usando la tua matrice: il vettore $v=[-1, 1, 1] in "Im"(A)$ si scrive come segue:

a) $v=0*[0, -1, 0]-1*[1, -1, -1]$ quindi le sue coordinate nella base $B_1=[0, 1, 0], [1, -1, -1]$ sono $(0,-1)$;

b) $v=1*[0, -1, 0]-1*[1, 0, -1]$ quindi le sue coordinate nella base $B_2=[0, -1, 0], [1, 0, -1]$ sono $(1,-1)$;

come vedi il modo di rappresentare il vettore $v$ come combinazione lineare cambia quando cambi base, però esso rimane in $"Im"(A)$. Questo, ovviamente si può provare per un qualunque vettore di $"Im"(A)$: pertanto il sostituire ad una base $B_1$ un'altra base $B_2$ che si ottiene combinando linearmente i vettori di $B_1$ non cambia il sottospazio $"Im"(A)$, pur cambiando il modo di rappresentare i vettori in coordinate.

Spero di essere stato chiaro.

[Luca D.1]

Perfetto, ora è tutto chiaro!
Grazie a tutti!!