Base immagine e kerf
Come trovo la base dell'immagine di questo esercizio? $f:R^(3)->R^(2),(x,y,z)->(x+2y-z,y+3z,-x+y-kz)$ per gli esercizi senza il parametro ho capito come trovo la base dell'immagine, prendo la base canonica della dimensione dello spazio di partenza, gli applico la legge della funzione, ottengo i vettori, e se essi sono troppi rispetto alla dimensione dell'immagine, prendo solo n vettori indipendenti dove n è la dimensione dell'immagine. Però con questo esercizio come faccio? Il rango è $3$ se $k≠-10$ è $2$ se $k=-10$, quindi la dimensione dell'immagine è $3$ se $k≠-10$ è $2$ se $k=-10$, mentre la dimensione del kerf è $1$ se $k=-10$ è $0$ se $k≠-10$. Parto dal caso $k≠-10$, quindi la funzione non è suriettiva, ma è iniettiva, però come trovo la base dell'immagine?
Risposte
Poichè $ f:R^(3)->R^(2),(x,y,z)->(x+2y-z,y+3z,-x+y-kz) $ (anche se in questo caso è da $ f:R^(3)->R^(3)$ ,penso tu abbia sbagliato a scrivere) hai già distinto i casi. Per trovare la base dell'immagine scrivi la matrice associata ad f
$ ( ( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 1 , 3 ),( -1 , 1 , -10 ) ) $ in questo caso (non ho fatto i calcoli mi fido di te) poichè K=-10 il rango è due.
Quindi una base dell'immagine è data da due vettori. Per esempio una base di Imf=(1,0,-1),(2,1,1) perchè almeno uno dei minori ha det diverso da 0 $ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 )) $ per esempio ha det = 1.
Se il rango è 3 allora prendi come base tutti e tre i vettori colonna
$ ( ( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 1 , 3 ),( -1 , 1 , -10 ) ) $ in questo caso (non ho fatto i calcoli mi fido di te) poichè K=-10 il rango è due.
Quindi una base dell'immagine è data da due vettori. Per esempio una base di Imf=(1,0,-1),(2,1,1) perchè almeno uno dei minori ha det diverso da 0 $ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 )) $ per esempio ha det = 1.
Se il rango è 3 allora prendi come base tutti e tre i vettori colonna
"Gio2312":
Poichè $ f:R^(3)->R^(2),(x,y,z)->(x+2y-z,y+3z,-x+y-kz) $ (anche se in questo caso è da $ f:R^(3)->R^(3)$ ,penso tu abbia sbagliato a scrivere) hai già distinto i casi. Per trovare la base dell'immagine scrivi la matrice associata ad f
$ ( ( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 1 , 3 ),( -1 , 1 , -10 ) ) $ in questo caso (non ho fatto i calcoli mi fido di te) poichè K=-10 il rango è due.
Quindi una base dell'immagine è data da due vettori. Per esempio una base di Imf=(1,0,-1),(2,1,1) perchè almeno uno dei minori ha det diverso da 0 $ ( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 )) $ per esempio ha det = 1.
Se il rango è 3 allora prendi come base tutti e tre i vettori colonna
Per $k=-10$ avevo capito come fosse fatta la base dell'immagine perchè nella matrice associata al posto di ka sostituisco $-10$, non capisco l'altro caso, come faccio a prendere tutti e tre i vettori colonna, se però dato che $k≠-10$ allora k può assumere qualsiasi valore diverso da 10, quindi nella matrice associata quale valore devo mettere al posto di k?
Non è che la base sia una sola, l'esercizio ti chiede di trovare UNA base per l'immagine.
Se sei sicuro che per K diverso da -10 i tre vettori risultino sempre linearmente indipendenti,cioè abbiamo det diverso da 0,allora a K puoi sostituire qualsiasi valore o puoi scrivere in generale $ B_(Im)= { (1,0,-1),(2,1,1),(-1,3,-k)} $ per ogni K diverso da -10
Se sei sicuro che per K diverso da -10 i tre vettori risultino sempre linearmente indipendenti,cioè abbiamo det diverso da 0,allora a K puoi sostituire qualsiasi valore o puoi scrivere in generale $ B_(Im)= { (1,0,-1),(2,1,1),(-1,3,-k)} $ per ogni K diverso da -10
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