Base formata da autovettori

[Shika93]

Ho la matrice $A=((1,-1,0),(-1,0,-1),(0,-1,-1))$ e devo trovare per ogni autospazio, la base.
Gli autovalori sono $\lambda=0, \pm sqrt3$

Per l'autospazio riferito a $\lambda=0$ l'ho trovata ed è $(1,1,-1)$.
Per gli altri due volevo usare cramer, per non stare ad incasinarmi a risolvere il sistema con delle radici dentro. Il problema che il determinate di $A-Isqrt3$ (per quanto riguarda $lambda=sqrt3$)mi viene nullo. Cosa faccio? Non posso applicarlo e l'unica è risolvere il sistema per sostituzione?
Il sistema è
$(1-sqrt3)x-y=0$
$-x-sqrt3y-z=0$
$-y+(-1-sqrt3)z=0$

[Magma1]

"Shika93":
Il problema che il determinate di $A-sqrt(3)I$ mi viene nullo.

Siano $f:V->V$, $f_lambda:: V->V$ tale che $f_lambda (v)=f(v)-lambdav$; $dim(v)

$lambda$ è autovalore$hArr EE v ne0$ t.c. $f(v)=lambda v$

$hArr EE vne0$ t.c. $v in Ker(f_lambda)$

$hArr Ker(f_lambda)ne{0} hArr f_lambda$ non è iniettiva

$hArr f_lambda$ non è isomorfismo $hArr det(M_(A A)(f_lambda))=0$

Pertanto $lambda$ è autovalore di $f hArr det(A-lambda I)=0$

In ogni caso la matrice ridotta di $A-sqrt(3)I$ è: $( ( 1 , 0 , -sqrt(3)-2 ),(0 , 1 , sqrt(3)+1 ),( 0,0,0 ) )$,


il cui sistema lineare omogeneo associato ha per soluzione: $(((sqrt(3)+2)z),(-(sqrt(3)+1)z),(z))$.

[dissonance]

Infatti, come dice Magma, per trovare degli autovettori non potrai mai applicare Cramer. Per definizione, $lambda$ è autovalore di $A$ se e solo se il sistema $(A-lambda I)x=0$ non si può risolvere con Cramer.

[Shika93]

E c'avete ragione pure voi. Non ci avevo pensato. Ho visto il sistema e sono partito a razzo. Altri metodi per evitare di risolvere per sostituzioni usando le matrici? Proprio perchè ci sono le radici che restano, per sostituzione mi occupa troppo tempo risolverlo, che non ho (ammesso e non concesso di non sbagliare a risolverlo).

[Magma1]

Io riduco la matrice completa, nei sistemi omogenei basta solo la matrice dei coefficienti, con l'algoritmo di Gauss-Jordan.