Base formata da autovettori

[stdio93]

Buonasera a tutti. Ho un dubbio nella preparazione dell'esame di geometria e algebra lineare. L'esercizio mi propone la seguente matrice:
$ A=( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , -1 ) ) $
Mi pone alcuni quesiti che sinceramente non sono stati un problema, mi chiede poi:
"determinare una base di $ R^3 $ formata da autovettori di A". Io ho trovato che gli autovalori della matrice $ A $ sono $ 0, sqrt3, -sqrt3 $, da qui posso trovare gli autovettori servendomi della formula $ (lambda I-A)v=0 $, ma da qui non mi so muovermi. Sapreste aiutarmi a svolgere questo quesito?
Grazie e Buone feste!

[Edex1]

Hai trovato gli autovalori e gli autovettori, ora vorresti trovare una base di autovettori. Ti servono quindi tre autovettori linearmente indipendenti che generino $RR^3$.
C'è un teorema che dice:

Dati $V_1,...,V_k$ autospazi e $alpha_1,...,alpha_k$ autovettori tali che $\forall i in {1,2,...,k} (alpha_i in V_i)$ allora
$alpha_1,...,alpha_k$ sono linearmente indipendenti.

Detto ciò quale può essere una base di autovettori per la tua matrice?

Spero di essere stato abbastanza chiaro

[stdio93]

Quindi se ho capito bene gli stessi autovettori (ciascuno calcolato sulla base di un diverso autovalore) costituiscono la base che cerco, no?

[Edex1]

Sì esattamente! La dimensione del dominio e del codominio (stiamo parlando di un endomorfismo) è tre, quindi ti servono tre vettori per formare una base, ma tu hai trovato tre autovalori e quel teorema ti dice che tre autovettori, ognuno preso da un diverso autovalore, sono linearmente indipendenti, quindi hai trovato la tua base