Base e sistema di generatori

[pitrineddu90]

So' che dicendo base allora sono dei vettori linearmente indipendenti e che sono un sistema di generatori. Non capisco però come si possa costruire un sistema di generatori senza che sia una base. Mi potete fare un esempio ? Grazie.

[cirasa]

Prendi questi vettori in $RR^3$:
$v_1=(1,0,0)$, $v_2=(0,1,0)$, $v_3=(0,0,1)$ e $v_4=(1,1,1)$.

Credo che sia abbastanza semplice capire perché questi vettori costituiscono un sistema di generatori di $RR^3$, ma non sono linearmente indipendenti (nè a maggior ragione costituiscono una base di $RR^3$).

[Gi81]

Ad esempio, ecco un sistema di generatori di $RR^3$ che non è una base per $RR^3$: ${u_1,u_2,u_3,u_4}$, con
$u_1=(1,0,0)$; $u_2=(0,1,0)$; $u_3=(0,0,1)$; $u_4=(1,1,0)$.
In generale, basta prendere una base e aggiungerci un altro vettore, e il gioco è fatto.

[pitrineddu90]

Quindi se ho un sistema di generatori e sono linearmente indipendenti è una base. Se ho un sistema di generatori e sono linearmente dipendenti NON sono una base (vedi esempio che mi hai fatto). Fila il ragionamento ?

[Gi81]

Sì , il ragionamento fila. Ma non è che stai dicendo granchè.
Una base è (per definizione) un sistema di generatori linearmente indipendenti.
Quindi è ovvio che se non vale una delle due proprietà non si ha una base. Ok?

Se poi tu volevi avere la garanzia che esistono dei generatori di uno spazio che non sono linearmente indipendenti,
io e cirasa ti abbiamo riportato due esempi (tra l'altro, quasi identici).

[pitrineddu90]

Dubbio risolto =) Grazie