Base e nucleo di un endomorfismo

[Mimmo931]

Questo è l'esercizio:
Considerare il seguente endomorfismo di R^3 : f(x,y,z)=(x+y,2x+2z,3x+y+2z) Determinare la dimensione, una base, una rappresentazione cartesiana e una parametrica del nucleo e dell'immagine di f.

Ora una volta scritta la matrice associata per trovare i vettori di base faccio la trasposta e riduco a scala e le righe non nulle sono i vettori di base, giusto?

[max1494]

E' giusto se si intende la base del sottospazio immagine della f in questione.
Se vuoi trovare invece i vettori della base del Nucleo (o Ker) dell'endomorfismo, ti occorre considerare la matrice associata (non la sua trasposta) come una matrice dei coefficienti di un normalissimo sistema lineare omogeneo e calcolare il nullspace di tale matrice (ovvero trovar le soluzioni di tale ipotetico sistema). La base di tale Nullspace corrisponderà alla base del nucleo di f. Sai ca

[21zuclo]

hai $ f\in End(RR^3) $ quindi avrai una matrice 3x3

per trovare direttamente il Ker e Im di f, il mio esercitatore di algebra lineare faceva in questo modo


[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&0&a\\
2&0&2&b\\
3& 1 & 2&c
\end{array}\right)[/tex]

ove $ ul(v)=((a),(b),(c))\in RR^3 $

ora come fai a trovare direttamente il Ker e Im? Applica alla matrice $A|b$ il metodo di Gauss.. prova!

ed automaticamente avrai trovato anche la base e la sua dimensione..

[Mimmo931]

Tutto chiaro, grazie a entrambi.