Base e dimenzione dell'intersezione di spazi vettoriali

[BoG3]

Ciao, non mi torna un esercizio:

$U={((x_1),(x_2),(x_3))\inRR^3: x_1+2x_2-3x_3}$
$V={a((6),(0),(5))+b((-1),(5),(0))+c((5),(5),(5)), a,b,x\inRR}$

Trovare:

[1]Base di U
[2]Base di V
[3]Base di U+V
[4]Base di U$\cap$V[/list:u:oeyacjb9]

Ora io ho calcolato i punti: 1 e 2, il risultato coincide col libro!
Per calcolare il punto 3 faccio il seguente ragionamento:

Siano $A,B$ basi trovate nel punto 1 e 2 (rispettivamente di $U,V$),
allora $A+B$ sono un sistema di generatori dello spazio vettoriale $U+V$ ma non è detto che siano anche un sistema minimale di generatori. Quindi cerco di capirlo:

$A={((-2),(1),(0)),((3),(0),(1))}$, mentre $B={((6),(0),(5)),((-1),(5),(0))}$

Li metto assieme e ottengo la matrice:

$((-2,3,6,-1),(1,0,0,5),(0,1,5,0))$ scambio prima e seconda riga

$((1,0,0,5),(-2,3,6,-1),(0,1,5,0))$

$((1,0,0,5),(0,3,6,9),(0,1,5,0))$

$((1,0,0,5),(0,3,6,9),(0,0,-9,9))$

Quindi una base è data dall'insieme $V+U={((-2),(1),(0)),((3),(0),(1)),((6),(0),(5))}$ ma sul libro il risultato è $V+U={((-2),(1),(0)),((3),(0),(1)),((1),(2),(-3))}$

Non ho capito il perchè...

[Pappappero1]

Non ho controllato i conti della riduzione di Gauss, ma visto il risultato direi che sono giusti. In generale una base di uno spazio vettoriale si guarda bene dall'essere unica. Semplicemente tu hai ricavato una base diversa da quella proposta dal tuo testo. In realtà, puoi facilmente osservare che qualunque base di $\RR ^3$ va bene, anche la canonica $e_1,e_2,e_3$ dove $e_i$ è nullo sulle entrate diverse dalla $i$-esima e ha $1$ sulla $i$-esima entrata.

[BoG3]

purtroppo non riesca a capire da dove tira fuori il vettore $((1),(2),(-3))$ dato che i miei vettori di partenza sono: la base A e B:

$A={((-2),(1),(0)),((3),(0),(1))}$, mentre $B={((6),(0),(5)),((-1),(5),(0))}$

mentre il vettore $((1),(2),(-3))$ è la definizione dello spazio vettoriale $U$.

Quall'e' il collegamento?

[Pappappero1]

In effetti $(1,2-3)^T$ (giusto per non scriverlo in colonna) è il vettore ortogonale al piano definito da $U$. Non sono nella testa di chi ha scritto il tuo testo, ma direi che l'idea è più o meno questa: la tua riduzione di Gauss ti fa vedere che $U + V$ è tutto $\RR^3$. Hai già una base per un $U$ $2$-dimensionale (che è la tua $A$). A quel punto ti basta aggiungere un vettore indipendente da quei due per ottenere una base di $\RR^3$ e il modo più semplice per trovarlo è prendere il vettore ortogonale a quei due, ovvero proprio $(1,2,-3)^T$.

Ma il punto vero è che una volta che dimostri che $U+V$ è $\RR^3$, ti basta prendere una qualsiasi base di $\RR^3$, e la tua e quella del testo hanno la stesso diritto di essere considerate risposte giuste all'esercizio.