Base e dimensione sottospazio

[dem1509]

Ciao a tutti!
Se un esercizio chiede di determinare una base e la dimensione di:
$<(0,0,0,0),(1,1,-1,-1),(3,3,-3,3),(2,1,-1,1),(1,2,-2,3)>$ in R4
i vettori indipendenti, per esempio, sono il secondo e il quarto, quindi perchè sono anche generatori?? non dovrebbero esserci almeno quattro vettori indipnedenti, affinchè siano generatori e di conseguenza anche una base?
La dimensione di una base può essere 2 se siamo in R4?

[niccoset]

Nota bene:

Def: $ V $ è detto di dimensione finita se esistono $ v_1...v_n in V $ tali che ogni elemento possa essere scritto $ v=lambda_1v_1+...+lambda_nv_n $.

$ {v_1,...,v_n} $ è detto sistema di generatori. Un sistema di generatori linearmente indipendenti è detto base di $ V $.

Quindi un sistema di generatori ti permette di scrivere tutti i vettori di uno spazio vettoriale ma la scrittura non è univoca se questi vettori non sono anche linearmente indipendenti (cioè formano una base).

Nel tuo esercizio essendo in $ RR^4 $ sicuramente quei cinque vettori non formano una base ( essendo una base costituita al massimo da 4 vettori) quindi uno fra quelli sarà sicuramente linearmente dipendente rispetto agli altri ( $ (0,0,0,0) $ ). Comunque disponendo i vettori in colonna e facendo il rango della matrice puoi vedere sia qual è la dimensione del tuo sottospazio che quali vettori formano una base.

[ciampax]

Mai sentito parlare di sottospazio?

[Mino_01]

Può esserti di aiuto quanto trovi qui?

viewtopic.php?f=37&t=126465

Operazioni elementari sui sistemi di vettori.

Ciao
Mino