Base e Dimensione di un Sottospazio

[Dxerxes]

Salve ragazzi chiedo il vostro aiuto per capire cosa sbaglio nel trovare la base e la dimensione di un sottospazio dato dall'esercizio

$ U={(x,y,z,t) in RR^4 : x+y-2z-t=0 , y-z-t=0, x-z=0} $
Il risultato che mi dà il prof è:
$ dim(U)= 2, una base è [(1,0,1,-1) , (0, 1, 0, 1)] $

Io con il risultato della dimensione mi trovo, è con la base che non mi trovo, a me viene $ [(-3,1,1,0), (-2,1,0,1)] $ non gli si avvicina neanche xD
e pure penso di aver fatto bene, perchè:
Ho scritto il sistema omogeneo;
Scritto la matrice $((1,1,-2,-1),(0,1,-1,-1),(1,0,-1,0))$
Dalla quale ho eliminato la terza riga perché il rango $\rho (U) = 2 $ quindi 4 incoglite meno il rango...da qui ho avuto che la $dim(U)=2$
Quindi ho riscritto il sistema omogeneo in funzione delle due variabili x e y tramite i parametri z e t
e quindi mi viene
$B(U) ={ (x=-z-t-2z-t) , (y=z+t) :} $
Dal quale ho tirato fuori i due vettori che formano una base scritti all'inizio ...

Vi prego aiutatemi a capire cosa ho sbagliato, grazie mille

[Carla1992]

Secondo me hai sbagliato i segni nella prima equazione dell'ultimo sistema che hai scritto. Dovrebbe essere $x = -z -t +2z +t = z $

[Dxerxes]

Grazie, dopo controllo!
Vi faccio sapere

[Dxerxes]

Ciao ho controllato il sistema, è come hai detto tu!

Peró comunque ponendo $ z=1 , t=0 e z=0, t=1 $
La base mi viene $ B(u)=[(1,1,1,0),(0,1,0,1)] $
Col secondo vettore mi trovo...
Ma col primo no >.<
Comunque grazie per avermi aiutato

[Carla1992]

Con il primo non ti trovi semplicemente perché hai dato ai parametri z e t valori diversi da quelli del professore (ma non hai sbagliato è giusto comunque ). Se vedi la soluzione del professore , lui ha posto z = 1 , e t = -1 per ottenere il primo vettore della base.

[Dxerxes]

Ok xD infatti stavo per chiedere proprio se il valore dei parametri fossero un problema! Menomale che l'hai specificato
Va bene Grazie mille Carla1992