Base e dimensione di sottospazi di $Mat_2RR$

[sajhoiseddse]

Nello spazio vettoriale $V$ delle matrici reali quadrate di ordine $2$ si considerino il sottospazio $U = $ con $A=[[1,0],[0,1]], B=[[0,1],[1,1]], C=[[1,-1],[-1,2]]$ e il sottospazio $W={[[a,b],[c,d]] | a=b=c}$.

1) Determinare dimensioni di $U, W, (UnnW), (U+W), (U+V)$.
2) Si costruisca una base di V che contenga una base di W.
3) Considerata la matrice $D_k=[[k,3],[3,2]]$ si determinino gli eventuali valori del parametro reale k per cui si ha $=U$.

Allora, premetto che ho appena iniziato a fare esercizi di algebra quindi chiedo perdono se chiedo dando solo un minimo abbozzo di soluzione

Comincio dall'1: ho notato che C è combinazione lineare di A e B, dunque posso concludere che $dimC=2$.
Per gli altri ho più difficoltà: credo che W possa essere generato a partire dalle combinazioni lineari di una sola matrice, $alpha[[a,a],[a,d]]$ e dunque $dimW=1$, è corretto?
Per $UnnW$, invece, devo imporre l'uguaglianza fra un elemento generico di U e uno di W (lo chiamo $Omega$): $xA+yB=zOmega$ solo che a questo punto non riesco a risolvere il sistema...
Per $U+V$ speravo di usare la formula di Grassmann una volta risolti i punti precedenti.

Rigrazio in anticipo chi ha voglia di aiutarmi

[Ernesto011]

Scusa ma $C$ è un elemento dello spazio vettoriale non è uno spazio vettoriale. Cosa vuol dire che $dim(C)=2$?
Forse volevi dire $dim(U)=2$, però è sbagliato comunque. A me sembra che $A$,$B$,$C$ siano linearmente indipendenti.

$W$ ha dimensione 2 invece, per esempio una base è $ F=[[1,1],[1,0]], G=[[0,0],[0,1]]$.
Generano $W$,infatti il generico elemento $H=[[a,a],[a,d]]=aF+dG$

[sajhoiseddse]

Grazie per la risposta! Si, scusa, intendevo dire $dim(U)$. Comunque mi sembrava che $C=A-B$ e quindi se C è c.l. degli altri due può essere escluso dallo span. Su W hai ragione, ha proprio dimensione due

Sul resto cosa pensi?

[Ernesto011]

Nel punto $a)$:
Per calcolare la dimensione dell'intersezione, prova a far vedere se le matrici $F$ e $G$ sono combinazione lineare di $A$,$B$,$C$ (sono calcoli insomma). $Dim(U+V)=3$ è banale. Anche $Dim(U+W)$ è banale per la formula di grassman (dopo aver calcolato la dim. dell'intersezione).

Per il punto $b)$
Si tratta di completare $W$, per esempio con $H=[[0,1],[0,0]]$ e $G=[[0,0],[1,0]]$

Per il punto $c)$
Sembra più delicato, dovresti far vedere per quali valori di $k$ la matrice $C$ è combinazione lineare di $A$,$B$,$D_k$.
Nota bene che puoi suppore senza perdita di generalità di trovare i $k$ per cui la matrice $(C+B-A)/3$ è combinazione lineare di $A$,$B$,$D_k$ e questo dovrebbe semplificare il ragionamento.

[sajhoiseddse]

Ok grazie mille, mi torna