Base duale e dimensione infinita
Salve a tutti. Mi sono bloccato in questo esercizio di algebra lineare, spero di poter confidare nel vostro aiuto! Sebbene riguardi lo spazio duale (che non ho studiato), dovrebbe bastare solamente qualche nozione sulle applicazioni lineari e sulle basi per poterlo risolvere. Infatti cosa significhi "spazio duale" me lo spiega direttamente il testo. Il testo è questo:
Per uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, lo spazio vettoriale $W = Hom(V,K)$ si chiama spazio duale di $V$, e gli elementi di $W$ (applicazioni lineari $\phi : V -> K$) si chiamano forme lineari su $V$. Sia $v_1, ... , v_n$ una base di $V$. Per il teorema della determinazione di un'applicazione lineare su una base, esistono elementi $w_1, ..., w_n$ di $W$ tali
$w_i(v_j) = \delta_(ij)$ (simbolo di Kronecker: vale $1$ se $i = j$, vale $0$ se $i != j$)
1. Dimostrare che $w_1, ..., w_n$ è una base di $W$
2. Dimostrare che, per ogni $v in V$ e per ogni $\phi in W$, valgono:
$ v = w_1(v)v_1 + ... + w_n(v)v_n$
$ \phi = \phi(v_1)w_1 + ... + \phi(v_n)w_n$
3. Supporre adesso che $V$ abbia dimensione infinita e dimostrare che i $w_i$ (con $i in I$ insieme arbitrario di indici) sono linearmente indipendenti ma non generano il duale.
I primi due punti sono riuscito a dimostrarli abbastanza facilmente. Per quanto riguarda il terzo, ho ipotizzato di poter scomporre l'insieme dei $w_i$ con insieme di indici arbitrario in tanti sottoinsiemi formati da famiglie di $w_i$ in numero finito. Tali vettori, per ogni famiglia, sono linearmente indipendenti (l'ho dimostrato nel punto precedente) pertanto posso ipotizzare che la totalità dei $w_i$ sia linearmente indipendente. (Correggetemi se sbaglio). Per quanto riguarda il dimostrare che i $w_i$ non generano il duale, non so proprio da dove cominciare. Dovrei dimostrare che esiste almeno un $\phi in W$ che non può essere scritto come $ sum^\infty \lambda_i w_i$, ma non so proprio come continuare.
Potete darmi qualche indizio?
Per uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, lo spazio vettoriale $W = Hom(V,K)$ si chiama spazio duale di $V$, e gli elementi di $W$ (applicazioni lineari $\phi : V -> K$) si chiamano forme lineari su $V$. Sia $v_1, ... , v_n$ una base di $V$. Per il teorema della determinazione di un'applicazione lineare su una base, esistono elementi $w_1, ..., w_n$ di $W$ tali
$w_i(v_j) = \delta_(ij)$ (simbolo di Kronecker: vale $1$ se $i = j$, vale $0$ se $i != j$)
1. Dimostrare che $w_1, ..., w_n$ è una base di $W$
2. Dimostrare che, per ogni $v in V$ e per ogni $\phi in W$, valgono:
$ v = w_1(v)v_1 + ... + w_n(v)v_n$
$ \phi = \phi(v_1)w_1 + ... + \phi(v_n)w_n$
3. Supporre adesso che $V$ abbia dimensione infinita e dimostrare che i $w_i$ (con $i in I$ insieme arbitrario di indici) sono linearmente indipendenti ma non generano il duale.
I primi due punti sono riuscito a dimostrarli abbastanza facilmente. Per quanto riguarda il terzo, ho ipotizzato di poter scomporre l'insieme dei $w_i$ con insieme di indici arbitrario in tanti sottoinsiemi formati da famiglie di $w_i$ in numero finito. Tali vettori, per ogni famiglia, sono linearmente indipendenti (l'ho dimostrato nel punto precedente) pertanto posso ipotizzare che la totalità dei $w_i$ sia linearmente indipendente. (Correggetemi se sbaglio). Per quanto riguarda il dimostrare che i $w_i$ non generano il duale, non so proprio da dove cominciare. Dovrei dimostrare che esiste almeno un $\phi in W$ che non può essere scritto come $ sum^\infty \lambda_i w_i$, ma non so proprio come continuare.
Potete darmi qualche indizio?
Risposte
Se vuoi un indizio, mi limito ad osservare che una "somma infinita" come quella che hai scritto, nel contesto degli spazi vettoriali, ha senso solo a condizioni ben precise. (quali?)
Scusate se rispondo solo adesso. Avevo lasciato perdere questa materia e l'ho ripresa solo ora. Comunque, il prof non ha mai trattato dimensioni infinite o somme infinite a lezione (però poi mette problemi del genere agli scritti), quindi non saprei rispondere o come andare avanti, necessito di qualche chiarimento!
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