Base Duale (dimostrazione con isomorfismi)
Salve a tutti, nonostante sia iscritto da un pò di tempo, dopo l'iscrizione non mi è mai capitato di aprire un topic.. spero di non sbagliare.. 
Ho un quesito da sottoporre, ho provato a cercare nei topic passati ma senza trovare precisamente questa dimostrazione (ne ho trovate altre valide nel forum e in altri testi).
Non riesco a decifrare bene questo ragionamento (immagine allegata) presente nel mio testo di studio riguardo alla dimostrazione che la base duale sia tale. Questa verifica tuttavia viene definita "immediata" .. mi sfugge qualcosa.
Il passaggio che mi manca in questa dimostrazione è come si arrivi dalle "coordinate su V associate alla base V" (quindi se non sbaglio si riferisce ad una n-upla in colonna (x1,...,xn) ) al "corrispondente isomorfismo" tra lo spazio duale e lo spazio delle matrici 1 x n.
L'isomorfismo fa corrispondere gli elementi della base duale alle matrici del tipo (1 0 0 ... 0 ) che compongono una base appunto dello spazio delle matrici, non sarebbe bastata questa osservazione considerando che l'isomorfismo manda basi in basi?
Grazie in anticipo a chi volesse rispondere, e mi scuso se ho sbagliato l'impostazione del post..
Ho un quesito da sottoporre, ho provato a cercare nei topic passati ma senza trovare precisamente questa dimostrazione (ne ho trovate altre valide nel forum e in altri testi).
Non riesco a decifrare bene questo ragionamento (immagine allegata) presente nel mio testo di studio riguardo alla dimostrazione che la base duale sia tale. Questa verifica tuttavia viene definita "immediata" .. mi sfugge qualcosa.
Il passaggio che mi manca in questa dimostrazione è come si arrivi dalle "coordinate su V associate alla base V" (quindi se non sbaglio si riferisce ad una n-upla in colonna (x1,...,xn) ) al "corrispondente isomorfismo" tra lo spazio duale e lo spazio delle matrici 1 x n.
L'isomorfismo fa corrispondere gli elementi della base duale alle matrici del tipo (1 0 0 ... 0 ) che compongono una base appunto dello spazio delle matrici, non sarebbe bastata questa osservazione considerando che l'isomorfismo manda basi in basi?
Grazie in anticipo a chi volesse rispondere, e mi scuso se ho sbagliato l'impostazione del post..
Risposte
La dimostrazione del fatto che la base duale di una certa base data e' appunto una base per lo spazio duale non ha bisogno a priori di costruire un isomorfismo esplicito con lo spazio delle matrici (anche se, sotto sotto, quell'isomorfismo e' li' pronto per essere usato). Si puo' dimostrare a mano e facilmente che i \(v_i^*\) sono linearmente indipendenti e che generano tutto \(V^*\).
Comunque, se $\mathcal{V}$ e' una base del tuo spazio vettoriale $V$, quali sono le coordinate dei vettori $v_i$ rispetto alla base $\mathcal{V}$? Facile: scriviamo $v_i = a_1 v_1 + ... + a_n v_n$ e l'unica possibile soluzione sara' $a_j = 0 $ se $j$ e' diverso da $i$ e $a_i = 1$, perche' questa e' una soluzione che funziona e il fatto che $\mathcal{V}$ sia una base garantisce che sia unica.
Quindi i vettori delle coordinate $(a_1,..., a_n)$ dei vettori della base $\mathcal{V}$ sono proprio i vettori della base canonica.
Fin qui ci siamo?
Ora, cosa fanno gli elementi della base duale? Basta fare il conticino, e osservare che il vettore della base duale \(v_j^*\) manda un vettore generico $v = x_1 v_1 + ... + x_n v_n$ nella sua coordinata $j$-esima $x_j$. Infatti
\[
v_j^* (v) = x_1 v_j^*(v_1) + ... + x_nv_j^*(v_n) = x_j
\]
Ora, cosa vuol dire identificare \(V^*\) con $Mat_{1\times n}$? Per ogni funzione lineare \(\alpha \in V^*\) esistono dei coefficienti (univocamente determinati) $c_1,...,c_n$ tali che ogni vettore $v = x_1 v_1 + ... + x_n v_n$ viene mandato da $\alpha$ nell'elemento del campo dato da $c_1x_1+...+c_nx_n$. Ora, il vettore delle coordinate di $v$ e' un vettore colonna con entrate $x_1...x_n$. Mandiamo l'elemento $\alpha$ nel vettore riga $(c_1,...,c_n)$ ed ecco l'isomorfismo, visto che $\alpha(v)$ sara' proprio il prodotto $(c_1,...,c_n) \cdot (x_1,...,x_n)^T$ (scrivo la trasposta per indicare che e' un vettore colonna).
Attraverso questo isomorfismo, i vettori della base duale vanno proprio nei vettori riga della forma $(0,...,1,...0)$.
Comunque, se $\mathcal{V}$ e' una base del tuo spazio vettoriale $V$, quali sono le coordinate dei vettori $v_i$ rispetto alla base $\mathcal{V}$? Facile: scriviamo $v_i = a_1 v_1 + ... + a_n v_n$ e l'unica possibile soluzione sara' $a_j = 0 $ se $j$ e' diverso da $i$ e $a_i = 1$, perche' questa e' una soluzione che funziona e il fatto che $\mathcal{V}$ sia una base garantisce che sia unica.
Quindi i vettori delle coordinate $(a_1,..., a_n)$ dei vettori della base $\mathcal{V}$ sono proprio i vettori della base canonica.
Fin qui ci siamo?
Ora, cosa fanno gli elementi della base duale? Basta fare il conticino, e osservare che il vettore della base duale \(v_j^*\) manda un vettore generico $v = x_1 v_1 + ... + x_n v_n$ nella sua coordinata $j$-esima $x_j$. Infatti
\[
v_j^* (v) = x_1 v_j^*(v_1) + ... + x_nv_j^*(v_n) = x_j
\]
Ora, cosa vuol dire identificare \(V^*\) con $Mat_{1\times n}$? Per ogni funzione lineare \(\alpha \in V^*\) esistono dei coefficienti (univocamente determinati) $c_1,...,c_n$ tali che ogni vettore $v = x_1 v_1 + ... + x_n v_n$ viene mandato da $\alpha$ nell'elemento del campo dato da $c_1x_1+...+c_nx_n$. Ora, il vettore delle coordinate di $v$ e' un vettore colonna con entrate $x_1...x_n$. Mandiamo l'elemento $\alpha$ nel vettore riga $(c_1,...,c_n)$ ed ecco l'isomorfismo, visto che $\alpha(v)$ sara' proprio il prodotto $(c_1,...,c_n) \cdot (x_1,...,x_n)^T$ (scrivo la trasposta per indicare che e' un vettore colonna).
Attraverso questo isomorfismo, i vettori della base duale vanno proprio nei vettori riga della forma $(0,...,1,...0)$.
Grazie per la risposta Pappappero
Infatti avevo prima dimostrato a mano che i vettori della base duale sono n generatori linearmente indipendenti
Sintetizzando in breve il ragionamento, si potrebbe dire che, dopo avere assegnato $ \mathcal{V} $ si ha la corrispondenza univoca con i vettori della base canonica, e per come abbiamo definito i vettori della base duale si vede subito l'analogia con i vettori riga (1,0,...,0) .. no?
In effetti "si vedeva" ma mi mancava un passaggio formale
grazie ancora
Infatti avevo prima dimostrato a mano che i vettori della base duale sono n generatori linearmente indipendenti
Sintetizzando in breve il ragionamento, si potrebbe dire che, dopo avere assegnato $ \mathcal{V} $ si ha la corrispondenza univoca con i vettori della base canonica, e per come abbiamo definito i vettori della base duale si vede subito l'analogia con i vettori riga (1,0,...,0) .. no?
In effetti "si vedeva" ma mi mancava un passaggio formale
grazie ancora
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