Base duale
Buonasera,
ho studiato gli spazi duali ma continuo ad avere problemi quando, dalla teoria bisogna passare alla pratica e, ad esempio, calcolare una base duale di uno spazio vettoriale da una base data. Riporto il testo dell'esercizio:
In $R^3$ si consideri il riferimento $R = (v1, v2, v3) =(1, 0, 1),(1, 1, 0),(1, 2, 1)$. Scrivere il riferimento duale $R^*$, scrivendo i funzionali lineari in coordinate rispetto al riferimento canonico duale di $R^3$
Non so cosa fare, potete darmi una spiegazione?
ho studiato gli spazi duali ma continuo ad avere problemi quando, dalla teoria bisogna passare alla pratica e, ad esempio, calcolare una base duale di uno spazio vettoriale da una base data. Riporto il testo dell'esercizio:
In $R^3$ si consideri il riferimento $R = (v1, v2, v3) =(1, 0, 1),(1, 1, 0),(1, 2, 1)$. Scrivere il riferimento duale $R^*$, scrivendo i funzionali lineari in coordinate rispetto al riferimento canonico duale di $R^3$
Non so cosa fare, potete darmi una spiegazione?
Risposte
In \(\mathbb R^3\) è abbastanza facile 
la base duale è fatta dai covettori \(\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3\) tali che \(\zeta_i(v_j)=\delta_{ij}\); per ottenere un tale covettore, devi trovare una terna \((a,b,c)\) tale che \(a+b=0=a+2b+c\); è evidente che il sottospazio di tali terne è generato da \(\bar \zeta_1 = (1,-1,1)\), un cui multiplo scalare $\alpha\cdot\bar\zeta_1$ deve ora essere tale che
\[
\left(\begin{smallmatrix}
a & -a & a
\end{smallmatrix}\right)\left(
\begin{smallmatrix}
1\\0\\1
\end{smallmatrix}\right) = 1
\] Basta allora prendere \(a = 1/2\). Fai la stessa identica cosa con \(\zeta_2,\zeta_3\).
la base duale è fatta dai covettori \(\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3\) tali che \(\zeta_i(v_j)=\delta_{ij}\); per ottenere un tale covettore, devi trovare una terna \((a,b,c)\) tale che \(a+b=0=a+2b+c\); è evidente che il sottospazio di tali terne è generato da \(\bar \zeta_1 = (1,-1,1)\), un cui multiplo scalare $\alpha\cdot\bar\zeta_1$ deve ora essere tale che\[
\left(\begin{smallmatrix}
a & -a & a
\end{smallmatrix}\right)\left(
\begin{smallmatrix}
1\\0\\1
\end{smallmatrix}\right) = 1
\] Basta allora prendere \(a = 1/2\). Fai la stessa identica cosa con \(\zeta_2,\zeta_3\).
E questo è quello che avevo fatto anche io. Il problema è che non ho capito per quale motivo io faccio questo procedimento
Allora non hai capito la dualità
Rifletti sul significato di questo fatto: se $M$ è la matrice che ha per colonne la base $v_1,v_2,v_3$ di $V$, allora $M^{-t}$ (l'inversa della trasposta di $M$) è la matrice che ha per colonne i vettori della base di \(V^*\) duale rispetto a $v_1,v_2,v_3$.
"killing_buddha":
Rifletti sul significato di questo fatto: se $M$ è la matrice che ha per colonne la base $v_1,v_2,v_3$ di $V$, allora $M^{-t}$ (l'inversa della trasposta di $M$) è la matrice che ha per colonne i vettori della base di \(V^*\) duale rispetto a $v_1,v_2,v_3$.
Non riesco a cavarne niente. Diciamo che l'argomento è stato trattato molto approssimativamente, definizione, una proposizione e qualche esempio. Però vorrei evitare di fare esercizi a macchinetta e vorrei capire veramente
Lo spazio duale di \(V\) è definito come lo spazio vettoriale \(\hom_k(V,k)\) (se \(k\) è il campo su cui \(V\) è spazio vettoriale). Si indica \(V^\lor\). I suoi elementi si dicono "covettori".
1. Mostra che \(V^\lor\) è uno spazio vettoriale rispetto alla somma di applicazioni lineari \((\eta+\zeta)(v) = \eta(v)+\zeta(v)\), e al prodotto per scalare definito da \(\alpha\zeta(v) = \alpha(\zeta(v))\).
2. Mostra che (se $V$ ha dimensione finita) fissata una base \(\{v_1,...,v_n\}\) di \(V\), resta determinata una base \(\{\zeta_1,...,\zeta_n\}\) di \(V^\lor\) dalla posizione \(\zeta_i(v_j)=\delta_{ij}\) (mostra direttamente che questi covettori sono un insieme massimale di generatori indipendenti).
3. Mostra che data una applicazione lineare \(f : V \to W\) esiste una applicazione lineare \(f^\lor : W^\lor\to V^\lor\) ottenuta per precomposizione (cosa significa? Definiscila; mostra che è lineare. Mostra che è funtoriale: se \(f,g\) sono mappe lineari componibili, allora \((gf)^\lor = f^\lor g^\lor\) e se \(f : V\to V\) è l'identità, mostra che \(f^\lor\) è l'identità di \(V^\lor\).
Il risultato che interessa a te è il seguente: data \(f : V \to W\) e opportune basi sui due spazi, se la matrice di \(f\) in quelle basi è \(A\), la matrice di \(f^\lor\) nelle rispettive basi duali è \(A^t\). Si mostra in coordinate: buon lavoro
1. Mostra che \(V^\lor\) è uno spazio vettoriale rispetto alla somma di applicazioni lineari \((\eta+\zeta)(v) = \eta(v)+\zeta(v)\), e al prodotto per scalare definito da \(\alpha\zeta(v) = \alpha(\zeta(v))\).
2. Mostra che (se $V$ ha dimensione finita) fissata una base \(\{v_1,...,v_n\}\) di \(V\), resta determinata una base \(\{\zeta_1,...,\zeta_n\}\) di \(V^\lor\) dalla posizione \(\zeta_i(v_j)=\delta_{ij}\) (mostra direttamente che questi covettori sono un insieme massimale di generatori indipendenti).
3. Mostra che data una applicazione lineare \(f : V \to W\) esiste una applicazione lineare \(f^\lor : W^\lor\to V^\lor\) ottenuta per precomposizione (cosa significa? Definiscila; mostra che è lineare. Mostra che è funtoriale: se \(f,g\) sono mappe lineari componibili, allora \((gf)^\lor = f^\lor g^\lor\) e se \(f : V\to V\) è l'identità, mostra che \(f^\lor\) è l'identità di \(V^\lor\).
Il risultato che interessa a te è il seguente: data \(f : V \to W\) e opportune basi sui due spazi, se la matrice di \(f\) in quelle basi è \(A\), la matrice di \(f^\lor\) nelle rispettive basi duali è \(A^t\). Si mostra in coordinate: buon lavoro
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