Base di uno spazio vettoriale

[Daddarius1]

Siano u=(1,2,-1) v=(6,4,2) vettori in R^3. Il quesito mi richiede di scegliere un vettore w tale che {u,v,w} sia una base di R^3. Ora mentre scrivevo mi è venuto in mente di scegliere w(0,0,1). Qual è il risultato corretto?

[Odexios]

Benissimo $(0,0,1)$. In generale, per completare a base costruisci una matrice avente come colonne i vettori che già hai e i vettori di una base nota, per esempio la canonica. Ad esempio:

$((1,6,0,0,1),(2,4,0,1,0),(-1,2,1,0,0))$

A questo punto ricavi i pivot, e troverai tre (in questo caso) colonne con i pivot, siano le tre colonne i, j, k; allora le colonne i, j e k della prima matrice sono linearmente indipendenti, e quindi una base del tuo spazio.

Per esempio, usando mosse di Gauss ti ritrovi con la matrice

$((1,6,0,0,1),(0,-8,0,1,-2),(0,0,1,1,-1))$

E quindi $(1,2,-1)$, $(6,4,2)$ e $(0,0,1)$ formano una base.

[Daddarius1]

Perfetto. Perchè $(0,0,1)$ e non $(1,0,0) $ come primo vettore della base canonica?

[Odexios]

"Daddarius":Perfetto. Perchè $(0,0,1)$ e non $(1,0,0) $ come primo vettore della base canonica?

Per fare in modo che $(0,0,1)$ finisse nella posizione giusta per essere "scelto" nel completamento a base.

Siccome anche $(1,0,0)$ è linearmente indipendente rispetto ai due vettori forniti, completare la matrice con i vettori della base canonica secondo l'ordine solito avrebbe fatto completare la base con $(1,0,0)$. Niente di sbagliato nel farlo, chiaramente.

[Daddarius1]

Ok.