Base di uno spazio vettoriale

[Daddarius1]

Ho $ S{(-1,4,0,3),(1,2,-1,1), (-1,0-3,-1), (0,1.-2.0), (-1,4,7,-1)} $ e l'esercizio mi chiede se S contiene una base di R^4. Procedo nel seguente modo: metto per riga i vettori che compongono S, ottenendo una matrice A; ne calcolo il rango (4) e S è un sistema di generatori di R^4 poichè il rango è uguale alla dimensione di R. Ora ho un dubbio sulla conclusione:
1) Essendo il rango 4, esistono 4 vettori linearmente indipendenti e uno combinazione lineare dei restanti; così S non è libero e S non è una base di R^4
2) Prendo i vettori individuati dal minore di ordine 4 non nullo, e $ S{(-1,4,0,3),(1,2,-1,1), (-1,0-3,-1), (-1,4,7,-1)} $ è una base di R^4. Qual' è la conclusione corretta?

[_prime_number]

L'esercizio chiede se S contiene una base, non se è una base. Dato che S contiene 4 vettori linearmente indipendenti, per il teorema della dimensione si può concludere che la risposta all'esercizio è sì.
Nessuna delle tue conclusioni è esatta.

Paola

[Daddarius1]

Quindì in generale, quando mi si richiede di vedere se un insieme di vettori contiene una base, devo vedere se e quali vettori sono linearmente indipendenti, e se se sono il numero giusto, allora affermo che l'insieme contiene una base. Esatto?

[_prime_number]

La tua domanda non è posta in modo chiaro. La questione è questa: per estrarre una base da un insieme di generatori di uno spazio $W$ devi controllare quali sono tra loro linearmente indipendenti e scartare il resto.
Se hai invece un esercizio del tipo: hai una definizione (ad esempio le equazioni) di $W$ e un insieme $S$ di vettori. Per vedere se $S$ contiene una base per $W$ prendi - come indicato sopra in questo post - solo i vettori lin.indip. e poi vedi se sono anche generatori di $W$ confrontandoli con l'altra definizione che hai (le equazioni).

Paola